А. Х. Тойбер.

 

Логика.

 

Учебник, учебное пособие. Предполагается использовать как пособие для философских факультетов. Возможно использование как вспомогательного пособия для студентов гуманитарных факультетов и учащихся старших классов. В том числе для самостоятельной работы для всех интересующихся данной областью знания.

 

Предисловие.

 

Хотя условия для появления логического учения возникли, по-видимому, всё-таки в древней Индии после формирования буддистской концепции, и в индийской культуре отдельные стороны логического учения продолжали развиваться и в дальнейшем, то, что мы понимаем под логикой в наше время, является в целом заслугой европейских мыслителей.

Но если техническая сторона логических навыков достаточно хорошо исследована, хотя и не беспроблемна, то осмысление места логики в системе деятельности людей, без которого деятельность в этой области теряет смысл, вызывает немало споров. Это осмысление было достаточно бурным и в античности. Это продуктивное осмысление продолжалось и при господстве христианской идеологии и до разделения церквей, и в эпоху католической схоластики, и протестантскими мыслителями, внёсшими свой вклад, как в становление логической техники, так и в осмысление места и роли логики.

По мере разрушения господства христианской, да и вообще религиозной идеологии, по мере роста претензий научного самосознания на самообъяснение своего феномена, старые принципы обоснования оказались разрушенными, и не без серьёзных на то причин. Но позитивистские претензии на самодостаточность также оказались сомнительными после опровержения возможности самообоснования математики, математической логики и вообще любой формализованной системы, если бы ещё какие-нибудь из них были возможны.

Достаточно неудачными, в конце концов, оказались и другие подходы к обоснованию и объяснению природы логики, включая попытки осмыслить природу логического знания с позиций отечественной школы философии. Не вдаваясь подробно в недостатки такого обоснования, так как несогласие с отдельными моментами и собственная точка зрения будут изложено по ходу подачи материала, можно сослаться хотя бы на разнобой учебников, отличия которых в основном заключаются в особенностях осмысления природы и места логического учения.

Можно, конечно, и такие попытки были, создать учебник, излагающий только логический инструментарий и необходимый для его овладения практический материал. Но, в отличие от начальных математических навыков, усваиваемых уже в дошкольном возрасте, а затем совершенствуемых по мере обучения в период взросления ребёнка, и не требующих в обыденной жизни дополнительных объяснений, логические навыки, требующие умения подвергать содержательному анализу собственную речь, начинают осваиваться не ранее 14-15 лет. Если же кто-то считает, что ему вполне достаточно формально освоиться с логическими приёмами, как это бывает часто со специалистами в математической логике, то это собственно его дело разобраться самостоятельно, как применять этот инструментарий и зачем. Практика же показывает, что как раз именно эти вопросы являются камнем преткновения, и именно не понимание этих вопросов ведёт, кроме всего прочего, к судебным ошибкам, педагогическим и научным просчётам.

Поэтому в этом учебнике, ориентированном на прикладное использование содержащихся в нём общеизвестных сведений, мы как раз и делаем акцент на осмысление природы логического знания, которое на наш взгляд невозможно понять без осмысления истории складывания важнейших составляющих процесса решения и применения логических задач. При этом автор использует свои представления в этой области, изложенные им в работе “История сознания. Абрис и проблемы”, Москва, ПАИМС, 1999г. Желающие могут обратиться к этой работе, где последовательно исторически излагаются и обосновываются главнейшие методологические установки, разъясняющие позицию автора. Но важнейшие из необходимых сведений воспроизводятся в учебнике.

Первые две темы, посвящённые предмету и истории логики трудны при первом ознакомлении с ними. К этим темам необходимо будет вернуться после полного знакомства с содержанием учебника и овладения основными навыками, как, возможно, и к предисловию. К сожалению, иного пути при изучении логики нет. Логические навыки плохо усваиваются без общих представлений, а общие представления не до конца понятны без овладения мелочами. На самом деле это не порочный круг, и практика показывает, что, в конце концов, овладение, как непосредственными навыками, так и осмыслением, осуществляется, хотя и не без труда.

Есть, правда, некоторые ограничения, связанные с недостаточным возрастом обучаемого, его психическим состоянием, может быть временным, и историко-культурными традициями, по-видимому, создающими непреодолимые препятствия для усвоения многих логических навыков представителями культур, находящихся на стадии до цивилизации из-за недостаточной развитости речевых средств. Трудности возникают и у тех взрослых, у кого не сформировались рефлексия по отношению собственным действиям и речи, и навыки сложно координированных рассуждений.

Огромное подспорье в усвоении логических навыков может оказать предварительное знакомство с простейшими из них в курсе математики и в других школьных предметах даже без упоминания их отношения к логике. В первую очередь это относится к операциям с логическими объёмами, перебору и аналогии, а также к несистематическому знакомству с простейшими преобразованиями высказываний. В дальнейшем в стандартный школьный курс логики для старшеклассников можно было бы ввести и систематическое изложение традиционных преобразований, а затем и табличные определения связок, и приёмы исчислений, опирающиеся на знание табличных значений. Тогда для полноценного освоения логических навыков и идей осталось бы уже совсем немного. Да и этот уровень знаний значительно повысил бы логическую культуру общества.

Возвращаться к ранее прочитанному и частично освоенному материалу в курсе логики приходится и по иным причинам. Логику, как область умений и знания, невозможно построить как школьную геометрию из начальных постулатов с помощью стройной системы вывода. Да и школьная геометрия не вполне отвечает, если разобраться, этому идеалу. В логике, даже после овладения её основами, присутствует значительное количество процедур, требующих осмысления. Осмысления требует и начальное овладение этими процедурами. Сами эти процедуры сложным образом сочетаются друг с другом в различных ситуациях.

Для обучения логические приёмы и материал, необходимый для осмысления, конечно, дробится на простейшие составляющие, но в таком виде он предстаёт как разрозненная россыпь навыков и информации, связь между которыми необходимо ещё уловить. Обучаемый часто попадает в ситуацию, которую можно выразить словами, что за деревьями не видно леса. А при этом следует не забывать, что для полноценного освоения желательно ещё и научиться рассуждать о смысле этого занятия, а не только натренировать себя в решении логических задач. Это, к сожалению, не уменьшает неприятия к логике.

Но отрицательное отношение к логике ничего хорошего в общественную практики не привносит. Если не считать общественной пользой судебные, политические, научные, технические и прочие ошибки и издержки. Отнюдь не все виды деятельности требуют овладения логическим материалом, и не владение логикой никого не может отрицательно характеризовать ни в интеллектуальном, ни в социальном плане. Но в задачах, где владение логическими навыками необходимо, не имеет значения,  по каким причинам задача не решена или, если к решению можно было бы прийти в результате рассуждений, решена неадекватно, с умыслом или без умысла, и какие причины мешали решение найти. Для общества безопасней выявить неспособность человека к овладению логическими средствами, чем пожинать результаты неполного или полного служебного несоответствия занимаемой должности.

Значительную трудность при первом знакомстве с логикой вызывает её терминология, особенно термины, имеющие различные эпитеты. В том числе, и термин логика, который может употребляться в разнообразных сочетаниях с ними. Например, дедуктивная логика, индуктивная логика, традиционная логика, классическая логика, формальная логика, диалектическая логика, математическая логика и так далее. Чтобы окончательно запутать или запугать читателя (ни в коем случае не следует поддаваться ни тому, ни другому) сюда можно было бы добавить термины: модальная логика, интуиционистская логика, положительная логика, логика классов, логика Пор-Рояля и другие. А также сомнительные для учебника логики: логика мышления, логика рассуждения, логика вещей, событий, реальности и не весть чего ещё, что к логике, как известной области знания отношения не имеет. Термин логика здесь скорее является синонимом терминов закономерность, тенденция или вообще не имеет смысла.

К счастью, термином диалектическая логика в последнее время не пользуются, и нет необходимости доказывать, что за ним ничего не стоит, а если там и есть какие-то проблемы, то к логике в том смысле, о котором мы говорим, они отношения не имеют. Термин формальная логика может пониматься по разному, но, в первую очередь, как синоним того, что мы назвали просто логикой, а в связи отсутствия необходимости противопоставлять эту логику диалектической также выходит из употребления. Иногда, правда, формальную логику понимают как учение о логических формах, противопоставляя её содержательным рассуждениям, но об этом лучше рассуждать содержательно по ходу изложения материала, чтобы не запутывать ни себя, ни читателя попытками в одной фразе изложить то, что требует подробного изложения и длительного осмысления.

Понимание того, что такое дедуктивная или индуктивная логика, приходит также в процессе изучения соответствующих разделов. Выделение особенностей традиционной и нетрадиционной, а также классической и неклассической логик, это вопрос осмысления и интерпретации исторически накопившегося материала и подходов к решению логических проблем. Эти особенности в явном виде будут сформулированы, когда в этом возникнет непосредственная нужда, но эти представления также постоянно используются при осмыслении и изложении материала учебника.

Термин математическая логика также понимается не однозначно. Мы под математической логикой будем подразумевать здесь математические методы моделирования рассуждения и математические методы исследования этих моделей, что естественно, раз эти объекты имеют математическую природу. В этой книге мы старательно избегаем всего, что требует специальной математической подготовки и не имеет сколько-нибудь непосредственного отношения к контролю рассуждения. Но в связи с тем, что математические методы оказались достаточно продуктивными и в этой области, наиболее важные приёмы исчислений, которые вошли в арсенал нетрадиционной логики, мы активно используем, а об остальных либо только упоминаем, либо, где возможно и кажется необходимым, приводим простейшие примеры для демонстрации.

В отношении остальных терминов можно сказать, что они или проясняться по ходу знакомства с проблемами, или вообще не будут использоваться в изложении, и, если у изучающего логику не возникнет желания углубляться в эту область далее решения прикладных задач, то без знания, что это такое, можно прожить.

Если заблуждение, что без знания логики можно прекрасно прожить (не только без личного знания, но при полном отсутствии такого знания в обществе), распространено среди тех, кто с ней не знаком и не желает знакомиться, и опирается на незнание особенностей общественного уклада до её появления. То среди многих плохо осмысливших природу этого знания бытует мнение, что логика – это жёстко детерминированная область, подчинение законам которой может спасти нас если не от всех, то от многих бед. Некоторые фрагменты логического знания действительно сопоставимы с математическими упорядоченностями и моделируются средствами математики, поддаются программированию и техническому воплощению, и в таком виде становятся составной частью современных программируемых устройств. Но пользоваться ими, так же, как и математикой, как любым техническим устройством, в том числе и компьютером, невозможно без осмысления.

Как это будет видно из изложения материала, решая проблему логического контроля рассуждения, нам постоянно и неоднократно приходится делать неконтролируемый логическими средствами выбор. И при выделении контролируемой области, и при её предварительной обработке, и при выборе символического языка, а вместе с ним и традиционного или нетрадиционного подхода к анализу, и при выборе классического или неклассического подхода к оценке ситуации рассмотрения. При выборе уровня языкового рассмотрения, при оценке и выборе на её основе типа демонстрации и разновидностей их, при выборе математической модели исчисления и при выборе средств, которыми мы будем проводить исчисление. Если ещё добавить, что для исчислений могут использоваться различные системы записи, что необходимо убедиться, что всё сделано правильно, и при этом не забыть не только о чём идёт речь, но и зачем всё это, становится понятно, что ни о каком механическом принятии решения на основе знаний логики говорить нельзя. А для начала необходимо разобраться с тем, что это такое.

Так как сам аппарат логики достаточно стандартен, отработан где-то десятилетиями, где-то веками, а где-то тысячелетиями и переходит из одного учебника в другой, то список литературы, которая использовалась для уточнения деталей и отсылок минимальна, а сами отсылки делаются в исключительных случаях.

 

Тема 1. Предмет логики.

 

 

Сформулировать, что такое логика, непросто, потому что, как и любое явление реальности, её можно рассматривать по-разному. В первую очередь нас, конечно, интересует, зачем существует данное явление культуры, каков его приспособительный смысл, зачем оно для нас, для чего оно служит и как этим пользоваться. На все эти вопросы будет дан не вполне привычный на сегодняшний день ответ: логика – это средство контроля над рассуждением. По крайней мере, такова практика непосредственного реального вразумительного использования навыков и знаний в области логики в истории культуры.

С другой стороны, сама практика использования логики и опыт осмысления этой практики предстают перед нами как постоянно развивающийся объект нашего исследования, включающий, в том числе, и некоторые предварительные обобщения и нормы работы. Именно эти обобщения и нормы, излагаемые в пособиях вместе с необходимыми иллюстрирующими и тренировочными примерами, представляют собой основу логического учения, и составляет основу для дальнейшего исследования этой области.

В связи с особенностями практики использования логических знаний и навыков, в первую очередь, логика связана с деятельностью обсуждения и спора в процессе решения задач приспособительной значимости или как-то с ними связанных в том случае, когда по каким-либо причинам эмпирическая проверка принципиально невозможна. В этом случае логика является средством контроля получаемой от оппонентов информации, оформленной речью.

Устная полемика или обсуждение проблемы могут быть записаны. В таком виде и собственные рассуждения предстают наглядно и могут быть также подвергнуты рассмотрению и контролю. С одной стороны, подобная процедура позволяет перейти от контроля над рассуждениями оппонентов к формированию навыков контроля над собственными рассуждениями, к чему, в первую очередь, также ведёт подкрепляемый внешний контроль со стороны оппонентов и педагогов. В таком виде логические навыки начинают существовать как нормы оформления результатов нашего мышления речью, и, в связи с этим, оказывают влияние на процесс мышления и неявный предварительный контроль его результата. Или, таким образом, как бы сказал Иммануил Кант, логика становится каноном нашего мышления. В таком виде наши логические навыки оказывают преобразующее воздействие на организацию и оформление всех разновидностей знания, в том числе и на саму логическую область в той мере, в какой они поддаются упорядочению и способны подкрепляться логическими доводами.

Последнее замечание существенно, так как в значительной степени преувеличена роль логики в математике вплоть до того, что бытует распространённое мнение о латентном усвоении логики вместе с математическими навыками. Но базовые математические процедуры исторически возникли до появления логики и для своего усвоения и использования в логике в этом смысле не нуждаются. Тем более что и усваиваются эти процедуры  в основном в дошкольном и младшем школьном возрасте, тогда как полноценное усвоение логики, а не отдельных количественно ограниченных её представлений возможно не ранее старшего школьного возраста.

 

Представьте для примера, что вам необходимо к двум прибавить три. Вы выделяете из массива путём выборки и пересчёта два объекта или уточняете путём пересчёта, что в массиве содержится два объекта. Таким же путём выделяете три объекта. Затем объединяете эти объекты в единый массив, что и будет соответствовать их сложению, и пересчитываете эту совокупность, обнаружив, что всего объектов пять. Ни на каком этапе, как мы видели, логические процедуры нам не нужны.

Другое дело, что после возникновения логических средств, они начинают использоваться при организации, обсуждении и оформлении результатов исследований в математической области. А в последние полтора столетия отдельные логические процедуры удачно моделируются и исследуются математическими средствами. Смешение этих взаимоотношений является грубой логической ошибкой, подменой рассматриваемых проблем и, в конечном счёте, подменой понятий.

Более подробно, но несколько в ином ракурсе, о возрастных ограничениях усвоения математических и логических понятий можно посмотреть в основополагающих в этом вопросе работах Жана Пиаже.

 

В связи с тем, что логика, как мы это определили, является средством контроля над рассуждением, необходимо уточнить, что такое рассуждение. В первую очередь, следует обратить внимание, что логические средства применимы только к овнешнённой речи устной или письменной, записанной словами, иероглифами или какой-либо иной системой символической записи, которая может быть устно воспроизведена или описана словами для передачи и обсуждения. Внутренняя речь про себя, так же как и шёпот, также являются речью. Но как только мы пытаемся погрузиться глубже, мы выходим за пределы возможностей логического анализа и попадаем в область мышления, которое обеспечивает в рамках своих возможностей решение не только логических, но и всех остальных стоящих перед нами задач, результат обсуждения которых может быть подвергнут логическому контролю.

Но не всякое использование речи, даже осмысленное, является рассуждением. Так не являются рассуждениями словесные выражения чувств и, в частности, основное содержание художественных произведений.

 

 Правда, мы можем, во-первых, переосмыслить и обсудить выражение чувств словами, как и чувства выраженные, например, в лирическом стихотворении, как сообщение о наличии того или иного чувства. Во-вторых, особенно в крупных художественных произведениях: романах и пьесах в особенности – то, что мы будем понимать под рассуждением, может в различных формах включаться в качестве средства художественной выразительности.

 

Также не являются рассуждениями приказы, различные побуждения к деятельности или её запрещения, нормативные и законодательные акты, регулирующие различные виды деятельности. Для того чтобы подобные выражения могли быть подвергнуты логическому анализу, они должны быть представлены без их побудительной направленности, рассмотрены как информирующие словесные формулировки. Это и происходит в случае, когда нам предъявляют требования несовместимые друг с другом или с иными известными нам требованиями, в том числе и со способным быть оформленным словами опытом. Чтобы избежать подобной рассогласованности, важнейшие нормативные документы обычно обеспечиваются вспомогательными логически выверенными дополнительными материалами, в частности определениями важнейших терминов, помогающими понять, что именно предполагается.

Поэтому под рассуждением в самом общем, предварительном значении следует понимать только осмысленное использование речи для непосредственной передачи сведений, сообщений, информации. Такое использование не предполагает наличия в исследуемых фрагментах речи ни эмоциональной реакции, ни побуждения, запрещения или регулирования деятельности, от которых мы отвлекаемся в случае необходимости рассмотреть эти фрагменты с точки зрения логики, преобразовывая и переосмысливая, в случае необходимости, подобные речевые образования для её нужд.

Практически объектом логического контроля является речь. При попытках выделить осмысленные составляющие речи мы, так или иначе, соглашаемся с лингвистическим членением речи на слова, предложения и связанные, цельные фрагменты текста. Следует обратить внимание, что речь, как продукт взаимоотношений людей, а после её возникновения и как их инструмент, формировалась в целом до появления логики, как феномена культуры. Поэтому даже в несвязанных с выражением эмоций или побуждений и норм текстах древних или неразвитых культур логический анализ применить трудно и он там, скорее всего, неуместен, так как характер связи между предложениями в целостном осмысленном фрагменте текста обеспечивается не логическими средствами. Например, апелляцией к наблюдаемому феномену или к бывшему когда-то наглядным опыту. В том числе, и к опыту осмысления текстов. Именно интерес к характеру связи между осмысленными составляющими речи, обеспечивающими её подлинность, и превращает рассуждения вообще, как способ передачи каких-либо сведений, в современное выверяемое автором и перепроверяемое оппонентами рассуждение с той же целью. Логические связи речи, после того как они выявлены в результате работы многих поколений исследователей, осознаются в процессе систематического изучения логики, чем они отличаются принципиально от лингвистических параметров речи, осваиваемых, в основном, латентно, и только затем частично корректируемых. 

Традиционно курс логики выстраивается таким образом, что его основные разделы совпадают с членением речи на её осмысленные составляющие, начиная с простейших: слова, предложения, связные цельные тексты или их фрагменты, обладающие подобными свойствами. Попытки модернизировать этот порядок из не вполне понятных соображений оказались неудачными и только сильней запутали проблему. Впрочем, это дело вкуса авторов и читателей выбирать, что им кажется интересней и правильней. В данном пособии привычный порядок подачи материала будет сохранён.

 

Практика изолированного логического исследования различных уровней речи – неизбежное зло, раз уж нельзя освоить логические навыки все сразу и в один присест. Но такая практика приводит к абсолютизации и уровней логического исследования, и логических характеристик этих уровней. Примером подобной абсолютизации является, например, характеристика истинности отдельного предложения. Или проблемы, возникающие при попытке применить логический анализ, например, к безличному предложению: «Светает»,– состоящему из одного слова и вполне соответствующему нашему пониманию, что такое рассуждение, но в то же время и что такое предложение, и что такое слово.

В отношении истинности следует обратить внимание, что в полном смысле эта характеристика применима к целостному сообщению, и именно так вначале, по-видимому, она и формировалась, о чём мы ещё поговорим. Применение этой характеристики к отдельному предложению, это, по-видимому, более позднее явление, чему не противоречат исторические свидетельства использования этой характеристики. Во многом такое использование подкрепляется, а возможно и является результатом исследования логических свойств  отдельного предложения, которое в подобном случае рассматривается как самостоятельный, самодовлеющий, полноценный текст. Но реально в практике рассуждения отдельное предложение не может быть ни истинным, ни ложным, ни каким-либо иным вне обсуждаемого контекста обсуждения, который и приходится восстанавливать в случае необходимости установить так называемую фактическую истинность входящих в рассуждение высказываний. Существование же научных теорий, состоящих из одного предложения, предположение чисто теоретическое.

 

Теперь, внеся дополнительные уточнения, мы скажем, что под рассуждением следует понимать осмысленное использование речи для непосредственной передачи сведений при возможности восстановления неявного контекста обсуждаемой проблемы и возможности выявить существенные для осмысления параметры, о которых и идёт обычно речь в курсе логики. Такое общее понимание рассуждения следует отличать от формального, при котором под рассуждением понимается только характер связи, объединяющей предложения в целостный фрагмент. Именно эта формальная сторона рассуждения в первую очередь привлекает внимание логиков, исследуется ими и излагается в соответствующем разделе курса логики, носящем это название.

Следует отметить, что характер и природа этой связи, а также её значение для нашей приспособительной практики понимались неодинаково в разное время, о чём пойдёт речь в историческом очерке. Но именно это понимание во многом определяет исторически смещающуюся границу между современной логикой и её предшествующим состоянием, что необходимо учитывать при осмыслении различий между современной и, так называемой, традиционной логикой, которая является этапом развития логики от Аристотеля примерно по начало 20-го века.

 

Тема 2. История возникновения и развития логических идей.

 

Решение вопроса о возникновении и дальнейшем развитии логических представлений принципиально и тесно связано с представлением о природе феномена логики. Вульгарный прагматизм и подгонка исторических сведений при реконструкции этих вопросов, поэтому, неразумны и, в конечном счёте, ведут к дезориентации, хотя избежать интерпретации исторических свидетельств в рамках той или иной концепции, конечно, невозможно.

Существует, по крайней мере, две основных точки зрения в отношении особенностей происхождения логики, как учения, не считая иных экстравагантных, вроде божественного, эзотерического или инопланетного её происхождения, с передачей полученных таким путём знаний начальным ознакомительным обучением. Критикой концепций подобного типа мы здесь заниматься не будем, так же как и критикой трансцендентальной априорной, психологической врождённой или какой-либо иной подобной природы логики. Две концепции, которые реально претендуют на то, чтобы быть обсуждаемыми специалистами, это, во-первых, наиболее распространённая и, можно даже сказать, общепринятая, излагаемая в курсах истории логики концепция происхождения и первоначального развития логических идей в Древней Греции. Эту историю ведут от усовершенствованной впоследствии Эвбулидом апории “Лжец”, датируемой, по упоминаниям, концом 6-го века до н. э. Возможно, что эта апория принадлежит критскому философу Эпимениду, время жизни которого относят к 6-му и даже 7-му (что сомнительно) веку до н. э.

Другая концепция, кажущаяся автору более убедительной и органичной, возводит появление непосредственных предпосылок и обеспечивающих существование логики представлений к тому же времени, но к иной локальной культуре, а именно, к Индии времени появления и формирования идеологии буддизма. И уже затем предполагается распространение и ассимиляция приспособительных открытий в этой области другими культурами в меру их готовности и способности воспринимать подобные представления, идеи и навыки. Основное возражение против такого подхода, это отсутствие достоверных свидетельств, подтверждающих документально подобные заимствования, и глубокая убеждённость в отсутствии контактов между Грецией и Индией. Но документов от этих времён осталось вообще мало, и даже труды Аристотеля были случайно обнаружены и не уничтожены через столетие после его смерти. Отсутствие же контактов, это, по-видимому, вообще достаточно невразумительное предположение, опровергаемое многочисленными свидетельствами истории культуры и в отношении более раннего времени, а также хорошо известным характером коммуникативных потребностей людей. В подобной ситуации только приспособительные качества объясняющей модели и должны приниматься во внимание, естественно при условии, что такая модель выдерживает требования, предъявляемые ей со стороны логической критики. Как раз история более чем двух тысячелетних попыток объяснения природы и истории логики, как продукта древнегреческого мышления, с огромным количеством несовместимых предположений и натяжек вызывает ощущение поисков отсутствующих причин реального функционирования и развития этого феномена культуры. Упорство, с которым эту точку зрения продолжают защищать, связано, скорее всего, с желанием сохранить господство исповедуемых идеологических установок, например, религиозных, для которых невнятность и невозможность найти решение обеспечивает возможность допустить божественное происхождение логического знания.

Попробуем представить, как мог бы происходить процесс возникновения и развития логики в нашей версии, исходящей из целостных взглядов на историю сознания, культуры и, в том числе, и речевой культуры людей.

Во-первых, следует обратить внимание, что наличие логических средств не только не упоминается, но и не обнаруживается нигде в текстах предшествующих появлению учения Будды, введшему в оборот обсуждения отсутствовавшее до этих пор представление о не воспринимаемой реальности, обеспечивающей существование воспринимаемого мира. До этого участники полемики или обыденного выяснения могли апеллировать к общеизвестному, подтверждаемому опытом или нормативно закреплённому авторитетом государства или культа знанию. Или непосредственно к воспринимаемой, освоенной обыденной деятельностью и речью, реальности. В таком случае логические средства контроля хоть и могут быть освоены и нормативно закреплены, но в их возникновении нет необходимости, и, что ещё важнее, нет собственно идеи не воспринимаемого, а, поэтому, в частности, и представления о не воспринимаемой связи рассуждения, без которой логическое учение не может быть создано.

В привычном для нас виде логического учения в ранних буддийских текстах также нет. Но зато там есть учение об обусловленном возникновении. Вот пример изложения этой концепции:

“Когда спрашивают, о Ананда, обусловлены чем-либо старость и смерть, следует ответить, обусловлены. Вопрошающему же, чем обусловлены старость и смерть, следует ответить: старость и смерть обусловлены рождением”. Далее эта конструкция многократно повторяется, но во втором фрагменте выясняется, что рождение тоже обусловлено, и обусловлено оно становлением. Эта цепочка продолжается таким образом: становление оказывается обусловленным привязанностью, привязанность жаждой, жажда чувством, чувство соприкосновением, соприкосновение именем и формой, имя и форма сознанием, а сознание именем и формой[1]. Таким образом, данное рассуждение, с одной стороны, излагает концепцию обусловленного возникновения. Это изложение концепции носителями традиционного мышления соотносится с их опытом и иллюстрируется им. Но если отвлечься от непосредственной передачи содержания, а при повторном ознакомлении рассмотреть сам текст, то он воспринимается, как аналогия процессов обусловливания в реальности, о которых этот текст сообщает, что на самом деле некорректно, но не может быть критически осмыслено в этот период. И, как следствие, анализ текста заставляет предположить, что и сами эти рассуждения, а не только процессы в реальности обеспечены скрытой обусловливающей связью. Это возможно, так как практика исследования текста, как объекта, например, для передачи правил записи и чтения, предшествующим эпохам известна. Хотя такой способ связи текста в единое объясняющее целое ещё далёк от привычных, современных нам представлений о средствах логической связи. В большей степени такие тенденции характерны для индийской традиции понимания природы логических проблем.

В таком случае приписываемая Эвбулиду апория «Критянин Эпеменид утверждает, что все критяне лжецы» (или в передаче Аристотеля: лжёт ли тот, кто говорит, что он лжёт?) должна рассматриваться, как творческое осмысление в рамках находящегося на подъёме древнегреческого традиционного сознания, апеллирующего к осмысляемой реальности и нормативно известному, пришедших извне новых веяний. Собственно, и сейчас эта апория воспринимается, как забавный казус, и, по-видимому, также, судя по её подаче в источниках, воспринималась современниками и, возможно, для этого и предназначалась. Наиболее общее рассмотрение ведёт к предположению о возможной связи этой апории с идеей Будды о не привязанности, позволяющей в рамках навыков и манипуляций традиционного мышления этого периода сформулировать утверждение, что лжец, а так, кстати, и называется апория, говорит правду, что он лжец. В ближайшие к этому времени десятилетия в Древней Греции можно обнаружить только использование сходных обескураживающих приёмов в практике софистов. А также создание Зеноном Элейским на основе приводящих к противоречию рассуждений известных затруднений для иллюстрации концепции своего учителя Парменида, также использующего принцип недопустимости противоречия.

В самом буддизме появление новых приёмов обоснования приводит к естественному вопросу о природе связи, обеспечивающей необходимые свойства рассуждения.

Анализ приведённого рассуждения об обусловленном возникновении кроме идеи обусловливающей не воспринимаемой, но иллюстрируемой связи даёт возможность выделить ещё два характерных для последующего развития логики феномена. Это, во-первых, поэтапность процесса рассуждения и, во-вторых, наличие повторяющихся слов, что будет рассматриваться впоследствии как опора для осуществления связи в выводе в индийской логике, а затем и у Аристотеля. Именно информация об осмыслении этих проблем в индийской логике, по-видимому, став доступной Аристотелю, оказалось фактором, побудившим его к созданию своих логических трактатов. А не так называемый индийский силлогизм, который, во-первых, таковым в полном смысле не является[2], во-вторых, скорее всего, возник позже или независимо как результат осмысления тех же проблем, и, в-третьих, как уже неоднократно показывали, не может быть преобразован в аристотелевскую силлогистику. Критики заимствования греками логических идей в Индии, как раз и ссылаются на несовместимость логических конструкций Греции и Индии, тогда как заимствование и преемственность необходимо искать, как мы показали, глубже на концептуальном уровне. За преимущества, которые позволили европейской логике превзойти родоначальников логического учения, в частности за саму выделенность этой проблемы, необходимо благодарить также и Платона. В первую очередь его следовало бы поблагодарить за то, что он привил Аристотелю, как и другим своим ученикам, а затем по наследству и всему европейскому теоретизированию, установку на необходимость самостоятельного целостного рассмотрения феноменов, за которыми угадывается концептуальное единство или, как сказал бы Платон, идея. В самой же Индии логические проблемы так и остались в целом не выделенными из общей теоретико-познавательной проблематики (смотри в уже упомянутых изданиях).

 

В рамках различения Я и мира и учитывая представление об иллюзорности мира, значительная часть буддистов, по-видимому, склоняется к предположению об отношении этой связи к природе субъекта. Такое решение подтверждает в значительно более позднем обобщающем древнеиндийские учения труде Харибхадра (9-10 в.). Простые люди, по мнению буддистов, неосознанно применяют в своих рассуждениях полученное в опыте знание о неразрывной причинно-следственной связи. Отсюда, по-видимому, и ведёт свою родословную концепция тождества бытия, мышления и речи (языка, рассуждения, логики) в своём полном или частичных вариантах. В этом варианте причинно-следственная связь становится опорой правильных рассуждений, в которых внешней наблюдаемой опорой такой связи в речи становятся повторяющиеся термины (впоследствии они рассматривают связь между качеством и его логическим признаком). В буддийской логике, как и вообще в индийской, обсуждается связь не между посылками и заключением, к чему и европейская пришла не сразу. В косвенном выводе, опровержении или допущении противоположного подобные опоры на повторяющиеся термины в чистом виде невозможны, что, по-видимому, и заставляет переосмыслять впоследствии природу связи составляющих рассуждения, подыскивая иные основания. Называя, например, опорой отношения тождества или ситуацию, когда выводимое качество и его логический признак вместе не воспринимаются (отсутствуют), хотя этому ничего не мешает. Подобные допущения, естественно, запутывают проблему природы связи в рассуждении, показывая несостоятельность некоторых базовых предположений подобного осмысления.

В индийской логике существовали и иные подходы к решению этой проблемы. Джайны понимали логическую связь, как постоянное сопутствование (буквально «не возникновение из другого»), сосуществование среднего и большего термина в прошлом, настоящем и будущем непосредственно познаваемое через восприятие, что достаточно близко и явно происходит из буддийской объяснительной модели. У ньяиков и мимансов связь выявляется по аналогии, узнаванию, непосредственно связи двух видовых характеристик, что также, хотя и в другом аспекте, ведёт начало от проблем буддийских представлений, а затем, возможно и влияет на них. (См. Канаева Н.А. стр. 88, 93-95, 99, 101, 112, 114).

 

Появление приёмов обоснования правильности рассуждения ставит вопрос о специфике этого феномена и, в связи с тем, что основная область применения этих приёмов дискуссии и обсуждение так называемого знания, феномен обоснования знания выделяется в отдельную область. В эту область включается всё имеющее отношение к процессу убедительного и адекватного опыту существования в реальности знания, а не только то, что мы сейчас называем логикой. Но именно в рамках этого подхода в Индии складывается понимание логических средств, как средства познания, что оказывается унаследованным последующими эпохами и заимствующими эту проблематику иными культурами.

 

В европейской культуре, после сформулированной Николаем Кузанским установки на научное открытие, по крайней мере, уже у Леонардо да Винчи появляется понимание логики, как средства открытия, на что логика, по всему, претендовать не может, хотя опровергать подобный взгляд, как показывает история критики этого представления непросто. Лучше всякой критики здесь может помочь предложение воспользоваться таким пониманием. Это отрезвляет. Собственно и предлагаемое в данной работе понимание логики, как средства контроля рассуждения, лежит в рамках понимания отношения логических средств к процессу познания, но с совершенно иным и, по-видимому, более адекватным реальному положению дел акцентом. Ср. для примера с высказыванием Ю. Бохеньского: «Логика состоит не в том, чтобы вывести, а в том, чтобы исследовать выводы». Та же позиция намечена ещё Роджером Бэконом[3].

Серьёзные изменения в исследование особенностей логической связи, используемой для построения обоснования, привносит, по-видимому, если признавать известные исторические свидетельства, подходы, развивавшиеся в нетрадиционной и неортодоксальной концепции джайнов, возникшей после появления буддизма. Скорее всего, это связано с необходимостью объяснять в полемических и педагогических целях природу вывода. Подход джайнов характеризуется попыткой максимально объективного рассмотрения проблем, включая и проблемы, учитывающие наличие не воспринимаемой реальности. Рассмотрение процесса обоснования знания приводит к пониманию этого процесса, как поэтапного использования всего, что известно о средствах получения, обобщения и контроля знания. Все эти средства применяются к словесной формулировке, сообщающей какую-либо значимую информацию. Как пример, как это показывают источники, обычно приводится утверждение: где есть дым, там есть и огонь. В целом, всё это похоже на обоснование гипотезы, но не только логическими средствами, а используя также объяснения процесса получения знания. Контроль получаемого знания понимается очень долго, как ошибки в получении достоверного знания. Затем, видимо позже, к этому будут добавлены приёмы сознательной проверки, для того чтобы избегнуть известных ошибок. Последовательную запись подобного обоснования, упорядочиваемую различным образом философскими школами древней Индии, видимо и следует понимать как то, что мы теперь называем древнеиндийским силлогизмом.

Первое упоминание подобной десятичленной конструкции, приписываемой джайнистам, относится к 3-4 векам до н. э. Но в рамках излагаемого подхода, скорее ближе к началу 4-го. Так как, по-видимому, аристотелевская силлогистика, возникающая совершенно неожиданно и неподготовленной предшествующим уровнем развития логических проблем в Древней Греции, является осмыслением просочившихся каким-либо образом сведений о проблемах, обсуждавшихся в это время индийскими теоретиками. Эти сведения необязательно должны были быть подробными. Достаточно было бы опоры в анализе на повторение термина и идей о поэтапности рассуждении и об условной связи составных частей рассуждения. Последнюю можно и самостоятельно вычленить, рассматривая фразу: если дым, то огонь,– при наличии идеи о закономерной связи.

Подход Аристотеля опирается на типичное для традиционной рефлексии внимание к речи, как опредмеченному способу проявления мышления, тем более, что предыдущее развитие древнегреческого философского мышления и исследование феномена речи готовили такой ракурс рассмотрения. Отсюда и рассмотрение логической связи у Аристотеля выглядит или как связь предложений, или как дополняющая её связь групп подлежащего и сказуемого в простом категорическом силлогизме.

Если учесть, что проблема логической связи, кроме Аристотеля обсуждается ещё и его современниками мегариками Диодором и Филоном, возникает вопрос о приоритете. Вполне возможно, что спор мегариков и его дальнейшее развитие вторичны и спровоцированы как раз работами Аристотеля, тем более, что основная информация о мегариках доходит до нас не от Аристотеля, добросовестно излагавшего мнения оппонентов, а от Секста Эмпирика.

Но если отбросить вопрос о приоритете, то собственно существенной является проблема истинности сложного высказывания, состоящего из двух высказываний, соединённых связкой «если – то». Решение, к которому склоняется Филон и Аристотель, ставшее стандартом традиционной классической логики известно: сложное высказывание не может быть истинным только в случае если при истинном антецеденте (первом члене подобного сложного высказывания) консеквент (второй член) ложен. Это, скорее всего, принимается как результат обобщения опыта наблюдений за перспективным или бесперспективным ходом развития полемики по важному вопросу при учёте внелогических её последствий. В случае, когда начальное утверждение ложно, полемика становится бесперспективной, и всякое вмешательство в неё, в конце концов, при нежелании переводить оппонентов в ранг врагов, заставляет предположить разумность и истинность их рассуждений и предложить на будущее, как это сделал Аристотель, быть внимательным при закладывании оснований. Сами же рассуждения мегариков и их примеры, как это передаёт Секст Эмпирик, показывают, что их аргументация является скорее апелляцией к опыту существования в воспринимаемой действительности, чем собственно логической аргументацией.

Попытки подгонки некоторых рассуждений Платона под схемы силлогистики Аристотеля, по-видимому, также являются сомнительными, хотя и могли послужить эмпирической почвой для осмысления. Так известное рассуждение Платона из диалога «Хармид»: «Стыдливость не есть нечто безусловно хорошее; сдержанность или чувство меры есть нечто безусловно хорошее. Следовательно, сдержанность не есть стыдливость»,– адекватней интерпретируются, как рассуждение по аналогии, как привычный для традиционной рефлексии приём сопоставления двух утверждений: А обладает свойством Р, и В не обладает свойством Р,– с последующим заключением: А не В.<Попов, Стяжкин, «История логики» стр.33?>.

В отношении древнеиндийской логики следует отметить также, во-первых, осмысление индуктивных рассуждений джайнами. Приём полного перебора известных сведений используется и предшествующим типом мышления. Так, например, он присутствует в так называемой «Вавилонской теодицее» для демонстрации скепсиса в отношении существования богов. Этот приём, но с художественной целью, можно найти и в более ранних текстах традиционной рефлексии, например, в «Эпосе о Гильгамеше» поздних версий. Стремящиеся к объективному рассмотрению джайны, которые не могут обойти вниманием этот приём и сами активно им пользуются при изложении материала, воспринимают такое перечисление также как обеспечивающую обоснование полноты знания связь. И, видимо, опять же от них эти сведения каким-то образом оказываются известными и используются античными авторами, хотя вполне возможно, что исследование этих проблем у них возникает самостоятельно.

Во-вторых, исследованию в школе ньяя подвергается аналогия, также не являющаяся собственно логическим приёмом и активно использовавшаяся уже на этапе ранней рефлексии, как приём создания теоретических объяснений. Учитывая достаточно поздний период появления логических трактатов ньяя можно допустить и обратное влияние на них древнегреческой логики с её интересом к значению отдельных слов, хотя и здесь возможна самостоятельная разработка проблемы.

Классическое понимание логического термина истина, как характеристики предложения со всеми вытекающими из этого затруднениями, восходит, по-видимому, к Аристотелю. Основная причина возникновения этих трудностей связана, в первую очередь, с тем, что этот термин, или сходные с подобным значением, имеет внелогическое употребление, существует до появления логики и встречается в значительно более ранних текстах. Выражение согласия или не согласия, связанного с конкретными коммуникативными ситуациями, существуют, скорее всего, и в период предшествующий появлению цивилизации и обнаруживаются у современных народностей, задержавшихся в социальном развитии. С появлением цивилизации и соответствующего ей уровня развития сознания словесное выражение согласия начинает использоваться также и при коллективной оценке создаваемых объясняющих текстов, сопоставляемых с имеющимися в опыте усвоенными ранее сведениями приспособительной значимости. В дальнейшем такая оценка оказывается в пределах возможностей индивида. А отдельное предложение оказывается способным быть рассмотренным в рамках обсуждения, как законченное осмысленное целое равноценное тексту. Это позволяет вырвать обсуждаемое простое или сложное предложение из контекста обсуждения. И только во второй половине 20-го века трудности такого подхода заставляют осознать, что отдельно стоящее предложение вне концепции не может быть ни истинным, ни ложным. А подобное понимание истины является только логико-математической характеристикой предложения или его символического заместителя в рамках оперирования им в какой-либо из систем счисления и может быть заменено иными характеристиками, как это делается для нужд вычислительной техники.

Осмысление логических средств продолжается на европейской территории в Средние века и в Новое время. Средневековые авторы упорядочивают результаты достижений Аристотеля и последующих античных разработок, выделяют и описывают стандартные формы преобразования высказываний. Итог этой работы в Новое время в начале 60-х годов 17-го века подводится в “Логике Пор-Рояля”, ставшей отправным пунктом дальнейшего развития логического учения. В 17-м веке в работах Томаса Гоббса, а затем Джона Локка в явном виде последовательно формулируются основы традиционной интерпретации логических процедур и значений, как операций с логическими объёмами и как апелляций к ним. Хотя неявно, а во многих случаях и явно такое понимание пусть и непоследовательно имеется и в работах Аристотеля и в последующие эпохи. Кажущаяся простота и правдоподобность такой интерпретации имеет и положительные и отрицательные стороны. Операции с логическими объёмами, во-первых, представляют автономный интерес, и, во-вторых, являясь внешне правдоподобными, они на время частично снимали проблему обоснования логики. Но, с другой стороны, этот подход привязывал исследователей к предметной реальности, мешая адекватно осмыслить действительную природу феномена логики и её составляющих, которые в том или ином виде всё же отмечались исследователями на всём протяжении существования этих проблем.

Значительное влияние на развитие логики оказывают взгляды Лейбница, Канта и многих других мыслителей. Но серьёзное изменение в осмыслении и некотором преобразовании логических средств происходит только во второй половине 19-го века под влиянием развивающихся алгебраических представлений. Логические преобразования начинают рассматриваться как математические операции в отношении составляющих рассуждения. При этом происходит некоторый крен в собственно математические проблемы исчисления и математического же его обоснования, что ведёт к риску потери предмета логической области, не говоря уже о принципиально безуспешных попытках внесодержательного логико-математического самообоснования, теоретический конец которым был положен теоремой Гёделя о неполноте.

 

Тема 3. Термин как внелогическая и логическая проблема.

 

Если, как мы договорились, в логике мы всегда имеем дело с оформленным речью рассуждением, то, исходя из этого, следует признать, что со стороны логики нас в первую очередь интересуют слова (термины, как их принято называть в логике), материализованные структурные осмысленные элементы речи, из которых речь и рассуждение и состоят. Но так как мы, как уже сказано, предполагаем, что слова не бессмысленны и, более того, что именно они в первую очередь и обеспечивают осмысленность речи, необходимо рассмотреть вопрос о природе смысла и его гипотетическом носителе понятии.

Под понятием в самом общем виде мы будем понимать такой заместитель реальности в нашем мышлении, который ни в каком отношении не подобен (не гомоморфен) реальности, которую он замещает. В ином случае, если подобие есть, такой заместитель реальности в мышлении следует считать и называть образом. Собственно говоря, считать понятие объектом невозможно. Такого объекта нет. Есть наше предположение, что осмысленность действий, поведение, обеспечивающее решение задачи, приспособительный эффект, удачное преобразование внешней или внутренней реальности, наших взаимоотношений, всё это с чем-то связано в нашем мышлении, с чем-то, обеспечивающим понимание, и именно это что-то мы и называем понятием. В этом смысле какое-то понимание, а вместе с этим какие-то понятия можно предположить практически у всего живого, которому необходимо совершать избирательные поступки. Поэтому необходимо говорить об уровнях понимания, обеспеченного различными механизмами реализации приспособительного поведения.

То, что мы понимаем под понятием, всегда предполагает обеспечение функции обобщения (генерализации), учёта типичных стандартных параметров, на основании которых мы отождествляем или попросту не различаем феномены реальности, или соглашаемся с принадлежностью их к одному типу, к одному классу явлений. В то же время задача отождествления выделенных обобщённых феноменов предполагает и способность отличать их от других феноменов пусть даже со сходными в чём-то похожими параметрами. Решение этой задачи предполагает наличие иерархии уровней понимания, но также предполагает многоэтапность процесса принятия решения в рамках поставленной задачи.

 

У людей функцию сохранения обобщённых значений сначала в антропогенезе берут на себя коллективные неутилитарные действия, опирающиеся на ранее приобретённые навыки и управляемые предшествующими речи сигналами на выдохе. Затем, с появлением человека современного вида, речевые сигналы, адресующие носителя сознания к опыту их употребления, сами становятся потенциальными носителями обобщённых, хотя и уточняемых ситуативно и зависящих от ситуации значений. Но и отдельные сигналы, которые мы в начальный период становления людей уже можем признать словами, и их совокупности для выражения значимой информации сначала являются лишь сложными стимулами, адресованными члену или членам коллектива и включаемыми в целостную приспособительную деятельность. Распознавание содержания речи в этот период опирается в первую очередь на опыт участия в коллективной деятельности, сопровождаемой речью.

С появлением цивилизации и письменности значение речевого сигнала дополнительно ограничивается правилами употребления знаков при чтении и письме. Эти принимаемые в результате практики, а затем, возможно, и конвенционально, в результате договора правила при работе с письменными текстами значительно ограничивают возможность интерпретирующего осмысления отдельных слов и их значений. А это в дальнейшем в эпоху после возникновения буддизма и связанных с ним подходов создаёт условия для допущения, что, по крайней мере, в конкретных исследуемых нами рассуждениях за одними и теми же словами мы предполагаем одно и то же значение и один и тот же смысл. Это очень сильное допущение, без которого мы не можем предъявлять логические претензии к рассуждениям в различных областях общественной практики. Но вне конкретного рассуждения эта претензия неприменима, и вся совокупность речи, если её рассмотреть, как некоторое законченное целое, этому требованию не может быть подчинена.

 

Отношение к терминам и стоящим за ними понятиям, складывающееся в логике при всей разумности этих требований является специфическим, и такое понимание терминов и понятий должно быть выделено из внелогической практики использования и понимания речи. Такие жёстко фиксированные термины и предполагающиеся стоящие за ними понятия мы будем для удобства называть дискурсивными и предполагать, что если мы в рамках логического исследования говорим о понятиях, то подразумеваем всегда только понятия дискурсивные. Собственно только о дискурсивных понятиях мы можем сказать не только, что они есть, но и указать, что они такое, так как дискурсивное понятие – это практически термин, слово или какой-либо символ любой природы, усвоенный нами в своём внешнем виде, значение которого жёстко закреплено. Поэтому, во внутреннем плане человека с ним знакомого в таком употреблении этот знак является не просто ситуативно интерпретируемым и предполагающим соответствующую реакцию, а является носителем пусть не всегда явно выраженного, но стабильного, нормативного, коллективно определённого значения и смысла. И, будучи феноменом внутреннего плана, дискурсивное понятие и оценивается, как понятие, и в действительности выполняет функцию носителя обобщенных значений, обеспечивающих понимание, но уже не в результате стимулирования определённых действий, а апелляцией к опыту использования речи в деятельности.

 

Далеко не все претензии, которые нам хотелось бы предъявить к своим или чужим рассуждениям на уровне контроля правильности употребления слов, можно сформулировать таким образом, чтобы они однозначно демонстрировали такую правильность. Например, невозможно сформулировать правила, которые бы обеспечивали реальность существования феноменов, которые мы представляем (репрезентируем) терминами. Такую связь может обеспечить только коллективная приспособительная практика. Реальность, которая стоит за рассуждением, всегда гипотетична, это реальность предполагаемая, представляемая нами, осмысленно допускаемая или, как сейчас говорят, виртуальная. Вопрос об отношении этой реальности к реальности подлинной – это вопрос вообще не логический и логическим средствам недоступный. Этот вопрос возникает только потому, что мы не различаем и смешиваем употребление речи в процессе деятельности и в специфической ситуации логического или иного анализа речи.

Среди претензий, которые можно предъявлять к речи, есть также группа претензий, которые хоть и являются объективными, но отношения к логическому анализу не имеют. Это грамматические и стилистические претензии. Например, правила словоизменения или согласования слов. А некоторые из подобных претензий даже мешают реализации логических требований к рассуждению, например, известное школьное требование подыскивать синонимы к часто употребляемым словам приводит к проблеме отождествления терминов, за которыми стоит одно понятие.

 

Логические классификации терминов.

 

Логические классификации терминов чисто формальными назвать нельзя, так как они требуют осмысленного понимания как способов выделения той или иной области, так и причин заставивших это выделение произвести для целей логического контроля рассуждения.

 

1. Дескриптивные и логические термины.

 

Во-первых, для целей осмысления логической структуры рассуждения на уровне словесных единиц и последующей символической замены, упрощающей рассмотрение логической структуры, все термины делят на дескриптивные термины (полнозначные слова) и логические термины, которые выполняют функцию логической связи или характеризуют какие-либо логические параметры.

Дескриптивные термины – это слова, обозначающие предметы, их признаки, а также знаки операций, замещающие специфические представления о процедурах в математической области (возможно, и в каких-либо иных областях). Соответственно, дескриптивные термины подразделяют на термы, предикаторы и функциональные символы соответственно.

                                               

Следует обратить внимание, что дескриптивный термин может быть не одним словом, а словосочетанием, в том числе и так называемым постоянным словосочетанием. Например, словосочетание постоянный интеграл является термином.

Существует, по крайней мере, два различных искусственных языка символов, с помощью которых естественную речь можно записать в удобном для логического анализа виде. В так называемой традиционной логике, применяются подходы, использовавшиеся схоластами в средние века, в которых они отталкиваются от способа логического анализа, применявшегося Аристотелем, представлявшего, что логическая связь в основном определяет порядок самой речи. И, если говорить о структуре предложения, то это связь между группой подлежащего и группой сказуемого. В современных разработках предпочтение отдаётся системе символизации, созданной в конце 19-го века Готлобом Фреге. Подход Готлоба Фреге, созданный на самом деле тем же не всегда последовательным Аристотелем, а затем развивавшийся стоиками, предполагает репрезентативные отношения между речью и реальностью. Так содержательные элементы речи, слова обозначают при таком подходе либо какие-нибудь феномены реальности предметного характера, либо какие-нибудь их признаки: свойства или отношения между ними.

Для символизации дескриптивных терминов – слов или постоянных словосочетаний, обозначающих предметы в самом широком смысле этого слова, куда могут относиться, например, числа и другие объекты отвлечённого характера, используются, замещающие их строчные буквы латинского алфавита. Для объектов известной области, например “стол”, используются начальные буквы: a, b, c, d и т. д. Для объектов неизвестной области, как и в алгебре, последние три буквы: x, y, z. Возможно также использование нижних индексов: a₁, х_n и т. п. Если по смыслу текста подразумевается, что речь идёт не о классе известных или неизвестных объектов, а о конкретном столе, то символическая запись будет несколько сложней: $!а (объект а, существующий в единственном числе; или: тот стол, который мы имеем в виду или о котором говорили, или тот человек, то дерево и т. п.). В скобках записаны различные способы прочтения данной символической записи, такая процедура называется интерпретацией. Мы видим, что, во-первых, возможны различные интерпретации символической записи и по способу прочтения и в зависимости от контекста обсуждения. Во-вторых, интерпретация является содержательной процедурой обратной символизации и экспликации текста.

Для признаков объектов (предикатов), каковыми могут являться свойства этих объектов или отношения между ними, используются заглавные буквы латинского алфавита, обычно начиная с буквы “Р”: P, Q, R, S, T и т. д. Здесь также возможно применение нижних индексов. Но иногда применяют и верхние индексы для обозначения местности предиката (количество мест, “валентностей” признака, к которому могут быть “присоединены” объекты). Так свойства являются одноместными предикатами. Слово “белый” является свойством. Это свойство относится к одному объекту, например “столу” или “снегу”. А признаки “быть больше” или “быть отцом” предполагают наличие двух объектов и соответственно являются двухместными предикатами. Класс белых столов в символической записи будет выглядеть как Р(а), а класс чисел одно из которых больше другого Q(b,с). Местность предиката мы не обозначали, так как она и так очевидна. Термины же брать в скобки обязательно, чтобы не смешивать их пропозициональными переменными, символами, замещающими предложение, о чём шла речь выше. Если проигнорировать содержание обсуждаемой проблемы, то первая формула будет читаться: а обладает свойством Р. Вторая формула будет читаться: b и с связаны отношением Q (или, если не игнорировать содержание, например b больше с, или b отец с). примером трёхместного предиката может быть слово “знакомить” (кто-то кого-то с кем-то).

Кроме термов (терминов) и предикатов (предикаторов), есть ещё одна группа дескриптивных терминов, а именно, функциональные символы. К ним относятся различные знаки операций и символы, обозначающие разнообразные математические функции. Особенности их использования и осмысления оговариваются в математике. При этом числа и иные математические объекты, с которыми проводятся операции, осмысляются, как область предметов, а их обозначения, как термы.

 

Но если за дескриптивными терминами мы предполагаем некоторое полноценное содержание, то слова, которые используются как внешние параметры для логического контроля и рассматриваются как определяющие речь с логической точки зрения, выделяются в совокупность логических терминов (или логических констант). Логические термины (логические константы) подразделяются на логические союзы (или логические связки), на кванторные слова (или квантификаторы) и на модальные слова (или квалификаторы).

Логические союзы или логические связки совпадают в целом с некоторыми поправками с привычной для тех, кто знаком с грамматикой, морфологической группой союзов. Так в состав этой группы попадут такие выражения русского языка, как “и”, “или”, “если, то”, “ни, ни”, “либо, либо” и возможно некоторые другие, влияние которых на логические свойства и параметры рассуждения может быть однозначно осмыслено при определённых условиях их использования. Некоторые союзы, например “а”, “но”, при этом придётся осмыслять, как “и” или каким-нибудь иным образом и даже некоторые из перечисленных союзов могут различным образом осмысляться в зависимости от контекста, в котором они используются. В состав логических союзов также попадёт отрицание “не”, относящееся в русском языке к частицам и особым образом ведущее себя в процессе сочетания с другими составляющими рассуждения, что заметно и в особенностях символической записи рассуждений. Но с логическими союзами в современной классической логике отрицание роднит способ его однозначного определения с помощью семантических таблиц, о чём пойдёт речь в соответствующем месте. И, при спорности отнесения отрицания к союзам прямо, необходимо согласиться с его непосредственным влиянием на изменение табличных значений, с помощью которых в современной логике и определяются логические свойства союзов. В любом случае отрицание необходимо признать логическим оператором.

К логическим терминам (константам) относятся также слова, характеризующие количественные характеристики обсуждаемой области объектов. Такие слова, как “все”, “всякий”, “каждый”, “любой”, “ни один”, “некоторые”, “многие”, “большинство”, “только один” и другие сходные с ними слова. Такие слова называют квантифицирующими, кванторными словами или кванторами. Причина выделения этой группы достаточно понятна, так как для передачи информации небезразлично ко всем ли выделенным объектам относится указываемый признак или только к части, или вообще существует только единственный объект, обладающий данным признаком.

К логическим терминам следует отнести также так называемые квалификаторы (модальные слова, модальные термины, модальные операторы). Сформулировать в общем виде особенность этой группы достаточно трудно. К этой группе относятся, например, модальные глаголы могу, должен, обязан и другие. Или наречия возможно, нельзя, запрещено, разрешено, случайно, необходимо и так далее. Но сюда же относятся и такие характеристики, как вчера, сегодня, раньше, позже, одновременно и тому подобные. Все эти термины, так или иначе, ограничивают и уточняют характер реализации процесса, выраженного грамматическим сказуемым предложения, или уточняют степень или дополнительные условия достоверности при демонстрации согласия или несогласия с высказанным по какому-либо поводу. И, поэтому, учёт наличия или отсутствия подобных ограничений также существенен при контроле правильности рассуждения. Но при попытке определить понятие модальности практически не удаётся избежать включения отрицания в область модальности.

 

2. Классификация дескриптивных терминов по осмыслению их отношения к предметной реальности.

 

Единичные и общие термины.

 

Предполагая, как эта принято в логическом анализе, что за терминами стоит предметная реальность, мы с точки зрения контроля рассуждения подразумеваем, что мы имеем в виду или один единственный предмет, который, как мы предполагаем, обозначен термином (такие термины называют единичными). Или таких предметов много (такие термины называют общими). Причём, если таких предметов много, существенно говорим ли мы обо всех предметах до единого или мы имеем в виду хотя бы некоторые из них, при этом не важно их количество: один ли это предмет, часть этого количества (не все) или все до единого. В символической записи современного языка логики эти различия обозначаются выбором кванторов " (все, для всех) или $ (некоторые, существует) для общих терминов и $! (существует единственный…) для терминов единичных. В традиционной логике для этой цели используются термины “все”, “некоторые”, а для единичных терминов имена собственные, пишущиеся с прописной буквы.

 

Следует обратить внимание, что в естественном языке мы также выделяем класс имён собственных. Мы употребляем подобные имена в процессе речи, когда хотим обратить внимание носителя данного имени, пригласить его к контакту, либо когда упоминаем о нём в процессе беседы, хотя подобное имя может принадлежать различным объектам и зачастую нам приходится вводить дополнительные уточнения, кого или что именно мы имеем в виду. Более того, за именем собственным может скрываться целый класс объектов, например словом Волга мы можем называть автомобили определённой марки. Также и общий термин “победа” может быть собственным именем, как класса автомобилей, так и отдельного предмета. Прямого соответствия между единичными терминами и именами собственными нет. Выявление термин общий или единичный – процедура содержательная. Хотя практика использования слов в современном языке, нормы которого и правила записи, оказавшие влияние на формирование этих норм, учитывали логические требования, частично помогают предварительной ориентировке в процессе осмысления на этой стадии логического анализа.

Появление проблемы общего по данным исторических источников принадлежит древнегреческому философу Сократу, а затем развивается в работах его ученика Платона. Впоследствии эта проблема неоднократно обсуждается в античности, в трудах ранних христианских мыслителей, средневековых схоластов, в эпоху Возрождения и в Новое время. В связи с тем, что ученик Платона Аристотель на первое место в реальности ставил единичные вещи, что было ассимилировано господствующей в католическом мировоззрении концепцией томизма, появляются концепции, представляющие, что генетически исходными были единичные термины, например, так представляет эту проблему английский мыслитель конца 17-го века Джон Локк. Не останавливаясь подробно на противоречиях и неразрешимых проблемах, связанных с подходом Локка, к сожалению повлиявшего на современные взгляды, в том числе и отечественных авторов, отметим, что с точки зрения, которую мы здесь излагаем, самые ранние речевые сигналы обладали максимальной степенью общности со значением главной предметно представимой цели коллективного приспособительного действия. И лишь затем сигнал, а затем и его акустические модификации, используемые в различных ситуациях коллективного взаимодействия, начинает использоваться для обозначения промежуточных предметно представимых целей деятельности. И только за пределами верхнего палеолита в мезолите и неолите формируется полноценная речь, протекают процессы интенсивной грамматизации речи, происходит относительная функциональная дифференциация речевых сигналов, которые уже можно воспринимать как лексические единицы. После чего только и возможно постепенное появление личных имён, которые сначала должны были пройти стадию имён собственных для общностей, например, обозначающих принадлежность собственной группе, связанной отношениями кровного родства. Хотя неречевыми средствами выделение отдельного предмета с помощью жестов осуществляют, например, обезьяны.

 

Собирательные и не собирательные термины.

 

С целью контроля правильности наших рассуждений о реальности при предположении, что термину соответствует определённый тип предметной реальности, важно понимать, являются ли объекты этой именуемой термином реальности (или один объект, если термин единичный) цельными, может быть и имеющими части, но не состоящими из независимых, способных существовать самостоятельно элементов. В таком случае подобный термин называют не собирательным или использующимся в не собирательном смысле. Но объекты (или объект) именуемой термином реальности может представлять собой совокупность независимых в целом, существующих или способных самостоятельно существовать элементов. Такой термин называют собирательным или использующимся в собирательном смысле.

Примером не собирательного термина может служить термин "лошадь". У реальных лошадей конечно можно выделить отдельные части, например ноги, туловище и голову, но отдельное самостоятельное и независимое существование этих частей в рамках нашего опыта взаимоотношений с реальностью выглядит фантасмагорично. Другое дело термины "книга" или "лес". Реальную книгу при некотором умении можно разобрать на страницы, из которых она собственно и состоит. А лес вполне может быть рассмотрен как совокупность отдельных растений, произрастающей на одной пусть и большой территории.

 

В различных контекстах один и тот же термин может быть как собирательным, так и не собирательным. Так термин "библиотека" может подразумевать собрание книг, но в другом контексте являться местом, куда направляется действующее лицо, или являться местом его работы. Не учёт этой особенности ведёт, как минимум, к парадоксам, как, например, в известном случае рассуждения по совершенно правильной наиболее популярной 1-й фигуре силлогизме в наиболее цитируемом его модусе Barbara:

Все курсанты разбежались в разные стороны

Иванов курсант

Иванов разбежался в разные стороны.

Здесь в первом высказывании термин “курсанты” используется в собирательном смысле, как совокупность самостоятельных элементов. Во втором высказывании термин “курсант” используется в не собирательном смысле, как имя определённого типа объектов, к которым принадлежит упоминаемый Иванов, то есть как не собирательный общий термин. Не различение, непонимание этого ведёт к одной из грубых и в то же время самых трудно различимых ошибок – подмене понятия (сознательной подмене смысла или непониманию, что, хотя термин тот же, смысл изменился).

Следует также обратить внимание на то, что деление терминов на единичные и общие и собирательные и не собирательные, это деление по разным основаниям, и возможны различные варианты соотношений этих характеристик. Так, например, термин “Государственная публичная библиотека имени Салтыкова-Щедрина” – это единичный термин, который может быть использован как собирательный.

 

Конкретные и абстрактные термины.

 

Если термин обозначает принципиально воспринимаемый объект или совокупность подобных объектов, его называют конкретным. Если же реальность, обозначаемая термином, не может быть непосредственно воспринята или требует для этого каких-либо аналогий, то такой термин называют абстрактным. Например. Термин “государство”, несомненно, абстрактный в данном понимании, хотя мы и можем придумывать предметное воплощение государства в виде его правительства и других властных структур, или в виде территории, окружённой границей и населённой людьми, так как при этом мы совершаем уже упоминавшуюся ошибку подмены понятия. “Цифра” или “цифры” – это конкретные термины, это символы с определённым начертанием. Что такое число представить уже невозможно, хотя числа и обозначаются цифрами и характеризуют определённые количества реальных предметов.

 

Но в целом во многих случаях определение термина конкретный он или абстрактный не бесспорно. К тому же, хотя небезразлично реален ли феномен, о котором идёт речь в рассуждении, нет формальных логических средств, которыми в этом ракурсе можно было бы воспользоваться в процессе контроля рассуждения. Значительная часть терминов в отношении этой характеристики будет зависеть от исповедуемых нами представлений. Например, атом можно считать элементарным объектом реальности, и тогда этот термин конкретный. Но можно, согласившись с непростыми, но убедительными доводами признать, что атом принципиально не наблюдаем, что это лишь теоретическое допущение, и тогда этот термин абстрактен.

Не совпадает также грамматическое и логическое понимание конкретных и абстрактных терминов. Грамматическое понимание связано с тем, как предшественники носители данного языка осмысляли реальность, и выражается в унаследованных от них особенностях словоизменения, если говорить о современном русском языке.

Все признаки, как свойства, так и отношения, а также процессы не являются предметами и обозначаются терминами, которые следует считать абстрактными. В тенденции прилагательные, глаголы и образованные от них имена существительные являются с этой точки зрения абстрактными терминами, например “белый”, “белизна”. Но тот же термин “белый” может быть конкретным, если обозначает человека или совокупность людей исповедующих определённые политические взгляды (или вариант для этого же термина – человека или людей определённой расы). Такое понимание подкрепляется тем, что этих конкретных белых (белогвардейцы они или европеоиды не важно) можно наглядно пересчитать. Представление о жёстком соответствии всех имён признаков к абстрактным терминам, а всех имён предметов к конкретным, кроме некоторых не решаемых проблем, будучи последовательно проведённым, ведёт к тому же к концепции тождества логических структур и структур реальности, с чем согласиться никак нельзя. Поэтому наше изложение традиционной для логики классификации терминов на конкретные и абстрактные преследует в большей степени цель продемонстрировать неприменимость её для логического контроля из-за некорректности самой классификации.

 

3. Классификация дескриптивных терминов в связи с особенностями их осмысления.

 

Подобное рассмотрение достаточно просто и в целом малопродуктивно. Интерес к этой классификации в современной логике поддерживался необоснованными надеждами перевести на формальные рельсы контроль содержания рассуждения или хотя бы вскрыть формальными средствами природу содержания то ли речи, то ли мышления, искажая при этом их действительную природу. Но имеются и традиционно унаследованные проблемы, не позволяющие полностью проигнорировать эту классификацию.

 

  a) Термины с положительным и отрицательным содержанием.

 

Если при формулировании того, что мы понимаем под данным словом, мы указываем только на наличие каких-либо признаков, не используя для характеристики того, что мы имеем в виду, слова с отрицанием, то так осмысляемый термин называют положительным. Если же при формулировании нашего понимания мы использовали хотя бы одно слово с отрицанием, то так осмысляемый термин называют отрицательным.

 

В традиционной логике, да и в большинстве современных пособий по логике обычно говорят о положительных или отрицательных понятиях, содержание которых раскрывается без или при наличии слов с отрицанием, а не о терминах с положительным или отрицательным раскрытием словами их содержания, как это мы делаем здесь, последовательно предполагая, что  логика имеет дело с речевыми формами. А иногда говорят о понимании содержания понятия с наличием или отсутствием признаков. При таком понимании понятие субстанциализируется, что ведёт к известным ещё с античности неразрешимым противоречиям и множеству других трудностей из-за неадекватного понимания природы средств логического контроля.

В практике обсуждения проблем наличие или отсутствие какого-либо признака у объекта или наличие или отсутствие отрицания в словах оформляющих содержание термина, которым мы обозначаем данный объект, существенно в связи с особенностями реальных ситуаций. Так как в одних случаях это может помочь уточнить, что мы имеем в виду, и выделить объект. А в других может вести к непониманию и неадекватному выделению класса объектов. В теоретической полемике некоторые школы пытаются последовательно избежать наличия слов с отрицаниями при раскрытии содержания термина, как в катафатической теологии, или наоборот использовать только отрицательные характеристики, как в апофатической теологии. Ни то, ни другое в содержательном обсуждении невозможно и, как мы отмечали, использование или не использование слов с отрицаниями при раскрытии содержания термина зависит от ситуации.

 

  b) Термины с относительным и безотносительным содержанием.

 

Если при формулировании понимания какого-либо слова мы описываем только свойства объекта, обозначаемого словом, то такие слова называют безотносительными терминами. Если же для этого нам приходится использовать хотя бы одно отношение, то такие термины называют относительными.

 

Различение между свойствами и отношениями процедура также содержательная. И свойства и отношения являются признаками предметов. Но если по аналогии с химическим представлением о валентности свойства можно представить как признаки с одной валентностью, как то, что свойственно объекту независимо от его связи с другими объектами, например то, что стол деревянный и светлый. То отношения, это признаки предполагающие характеристику объекта по его связям с другими объектами, например стол, стоящий у стены. С точки зрения этого подхода и отдельные слова, обозначающие признаки могут быть классифицированы как свойства или отношения. Так термин "отец" является отношением, так как обозначает объект, предполагающий наличие детей, которым данный мужчина является отцом. Так как свойства связаны с одним объектом, обозначающие их термины называются одноместными предикатами. Отношения же обозначаются двух и более местными предикатами. Термин отец с этой точки зрения – 2-х местный предикат. Примером 3-х местного предиката является слово знакомить (кто-то, кого-то с кем-то). В рассуждениях учёт безусловных характеристик или их наличие только по отношению к другим объектам или условиям необходим, тем более, что сами отношения обладают некоторыми дополнительными параметрами. Например, быть другом кого-то или находится на определённом расстоянии от чего-то верно и в обратную сторону. А считать себя другом кого-то или быть отцом кого-то с точки зрения другого объекта может быть неверно. В цепочке, где каждые два обсуждаемых человека являются родственниками, все обсуждаемые персоны являются родственниками. Но в цепочке знакомых друг с другом людей утверждение, что все они знакомы друг с другом, может не подтвердиться. Существуют попытки создать формальнологические системы для исчисления рассуждений с предикатами не выше 2-го порядка, но такие системы громоздки и на практике подобные рассуждения содержательным анализом упрощают до рассуждений с одноместными предикатами, с которыми уже можно справиться с помощью отработанных средств формальнологического контроля.

 

Представление об объёме и содержании терминов.

 

Объёмом термина мы будем называть объект (в случае, если мы имеем дело с единичным термином) или их совокупность (в случае, если мы имеем дело с общим термином), которые данным термином обозначаются. Содержанием термина мы будем называть словесное изложение того, что, как мы понимаем, подразумевает данный термин.

Соотношение термина, его объёма и содержания можно представить наглядно с помощью семантического треугольника Готлоба Фреге. В общем виде это будет выглядеть так:

 

                                                       Термин

 

                                        Объём           Содержание

 

В более конкретном:

 

                                                          Стул

 

                                               

                                                                     Предмет мебели, используемый для

                                                                     сидения одного человека, имеющий

                                                                     спинку и не имеющий опор для рук.

 

 

 

В данном случае изображён один стул, но это может быть совокупность всех стульев. Такую совокупность в математике называют класс, а отдельный объект – элементом данного класса. Поэтому объём термина может также называться классом объекта. Для единичных терминов элемент и класс совпадают, или иначе мы имеем дело с классом, состоящим из одного элемента. Если в классе не содержится ни одного элемента, то он называется пустым, и также пустым называется обозначающий этот класс термин. Пустой класс обозначается символом q.

 

Графическое изображение объёмов терминов.

 

Стандартными принятыми в логике приёмами изображения объёмов терминов являются диаграмма Венна и круги Эйлера.

 

Диаграмма Венна.

 

Диаграмма Венна представляет собой внешне квадрат, внутри которого, как мы предполагаем, находятся все конкретные, абстрактные или какие угодно ещё предметы, так называемый универсум. Если мы выделяем какую-нибудь группу предметов, например стулья, то мы её размещаем в какой-либо половине квадрата, например в левой, разделив для наглядности квадрат чертой по середине сверху вниз. Тогда в правой части квадрата останутся все остальные предметы универсума, которые можно охарактеризовать как не стулья.

                                         Стулья     Не стулья

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратим внимание на то, что поле вокруг квадрата в наших рассуждениях не участвует и ничего собой не обозначает. В отличие от того, как оно будет участвовать при работе с кругами Эйлера, о чём пойдёт речь дальше в соответствующем месте.

Но вернёмся к диаграмме Венна. Допустим, что нас заинтересовали в данный момент не все стулья, а только стулья, которые находятся на территории города Владивосток. Разделим наш квадрат ещё раз пополам, но теперь уже на верхнюю и нижнюю половину, прочертив для этого линию справа налево. При этом в верхней половине сконцентрируется всё, что находится в городе Владивосток, а в нижней – всё то, что находится за его пределами.

                                         Стулья     Не стулья

 

   

    Во Владивостоке

 

 

 

    Вне Владивостока

 

 

В левом верхнем квадрате окажутся представленными все стулья, находящиеся во Владивостоке. В правом верхнем квадрате окажется представленным всё, находящееся во Владивостоке, кроме стульев. В левом нижнем квадрате, таким образом, окажутся представленными все стулья, находящиеся за пределами Владивостока, а в правом нижнем всё остальное, то есть всё, что находится не во Владивостоке и не является стульями.

Некоторые трудности начнутся, если мы добавим ещё хотя бы один признак, например наличие или отсутствие деревянных деталей. Для того, чтобы изобразить это, надо столбики всех стульев и не стульев разделить сверху вниз пополам, так как деревянные детали могут быть и там и там. Чтобы разместить надписи увеличим размеры нашего квадрата.

 

 

                                        Стулья                                          Не стулья

                         Деревянные Не деревянные    Деревянные    Не деревянные

 

Во Владивостоке

 

Не во Владивостоке

 

С тем, что и в какой клеточке находится, читателю следует разобраться самостоятельно, и сделать это необходимо, так как на этот навык опираются средства логического контроля над операциями с объёмами терминов.

Чтобы не загромождать изображения, мы на словах обсудим, что мы должны будем сделать, если количество признаков ещё увеличится. Если добавится ещё один (четвёртый) признак, то нам придётся делить пополам по горизонтали каждую из двух строк, по очереди обозначая слева от строки наличие или отсутствие нового признака. Попробуйте сделать это самостоятельно. Если после этого вам по какой-либо причине необходимо будет добавить ещё один (пятый) признак, то вам придётся опять перейти к столбикам, и каждый из них разделить сверху вниз пополам, последовательно обозначив поочерёдно наличие и отсутствие этого признака. И так далее. Естественно, что подобную процедуру хочется перепоручить машине, и, к счастью, в реальных рассуждениях мы, как правило, так далеко не заходим, стараясь упростить обсуждаемую картину, тем более, что часто нам приходится использовать свои навыки в стрессовой ситуации. Можно напоследок для тренировки только посоветовать читателю на самой сложной диаграмме, которую он построит, выделить отдельные ячейки и их группы, где ячейки необязательно примыкают друг к другу, и сформулировать, что именно представлено на выделенных ячейках и на остальной части диаграммы. И при этом не пугаться, если для каких-то ячеек не найдётся предметов с данным набором признаков, так как мы помним – термины могут быть пусты.

 

Круги Эйлера.

 

Другим приёмом изображения объёмов терминов являются круги Эйлера. В этом случае универсумом, полной совокупностью всех предметов будет служить всё поле страницы и её продолжение, на котором эти предметы как бы размещаются. А выделенные нами предметы, обозначаемые конкретным термином, например, всё, что мы называем словом стул (имея в виду, конечно, предмет мебели), мы помещаем внутрь круга, как на остров, на котором нет ничего, кроме того, что мы оговорили.

 

Универсум

 

 

 

 

 

Отдельный элемент этого класса, как и любой другой элемент универсума, изображается точкой, расположенной в соответствующем месте плоскости, как, кстати, и на диаграмме Венна. Вы можете нарисовать круг, который мы будем предполагать изображением множества всех стульев, а стул, на котором вы сидите изобразить точкой. Рядом вы можете поставить ещё одну точку, которая будет изображать какой-нибудь другой стул, например, тот на котором сижу я, когда набираю эти строки. Чтобы эти стулья не перепутать обозначьте их как-нибудь, можете, к примеру, вместо слов их просто пронумеровать, отметив, какой номер какому стулу соответствует.

При изображении на кругах Эйлера некоторые трудности начинаются уже при необходимости выделить уже второй признак. Так всё, что находится во Владивостоке, мы разместим внутри другой окружности. Но вот как эти окружности расположены друг относительно друга – это задача содержательная, в отличие от машинообразных процедур, которые мы проделывали на диаграмме Венна. С топологической точки зрения может быть только четыре типа соотношений между двумя окружностями. Вот их изображение.

1.                     2.                          3.                           4.

 

 

 

 

 

В первом случае мы имеем дело с совпадением объёмов терминов, как для слов конница и кавалерия. Во втором случае объём одного термина включён в объём другого, как, например, для слов звери и медведи. В третьем случае мы имеем дело с пересечением объёмов терминов. Например, столы и изделия из дерева. В четвёртом случае у нас налицо исключение объёмов терминов. Например, ослы и жирафы. Причём, не важно касаются ли окружности друг друга или расположены на разных страницах. Важно только, что у них нет ни одного общего элемента. Поэтому, если класс, состоящий из одного элемента в виде точки, изображён внутри окружности, то это значит, что этот объём включён в объём термина, изображаемого этой окружностью. Естественно, что в процедуре изображения объёмов может участвовать и более двух терминов, что усложняет картину и требует определённого внимания в процессе решения этой задачи.

 

Обобщение и ограничение терминов.

 

Обобщение термина – это операция, позволяющая в процессе рассуждения переходить от термина с меньшим объёмом к термину с большим объёмом. Ограничение термина – это операция, позволяющая в процессе рассуждения переходить от термина с большим объёмом к термину меньшим объёмом. Обобщение и ограничение по отношению друг к другу являются обратными операциями.

Обобщаемый термин своим объёмом должен быть включён в объём термина, получаемого в результате обобщения. Как уже в приводимом нами примере включения объёмов термин зверь является обобщением термина медведь. В случае ограничения в том же примере термин медведь является ограничением термина зверь. То есть ограниченный термин своим объёмом должен быть включён в объём ограничиваемого термина. Никакое иное соотношение объёмов не может быть использовано для проведения этой операции.

Термин может быть обобщён или ограничен различным образом. Так термин медведь может быть обобщён и как млекопитающее, и как животное, и как хищник, и как всеядное, и как герой сказок, и каким-либо иным образом в зависимости от контекста обсуждения и наших научных представлений. Так же и термин зверь может быть ограничен, например, термином волк или каким-либо иным способом.

Но нельзя обобщить термин рука термином человек, как и ограничить термин человек термином рука, или нога или как-нибудь ещё, так как в данном случае мы имеем дело не с взаимоотношением объёмов терминов, а с взаимоотношением объекта и его части. Ограничением термина человек может быть какая-нибудь группа людей (точнее термин, обозначающий данную группу), например древние греки. А обобщением термина рука – термин часть тела.

Несколько более сложным случаем подобного отношения является, например, соотношение терминов взвод и рота, так как взвод является частью роты, а не обозначением подкласса людей, включённых в класс людей обозначенных словом рота. В роте, кроме взводов, являющихся её подразделениями, могут существовать и иные её подразделения, например ротная кухня и ротная разведка, а в более крупных подразделениях, таких как батальон или полк, ещё и соответствующие подразделения артиллерии, а в полку ещё и штаб. В любом случае все они являются частями целостного войскового подразделения, а не подклассами ограничиваемого термина. Обобщением термина взвод является термин войсковое соединение. А термины взвод, рота, батальон, полк, армия, корпус и тому подобные являются результатом ограничения термина войсковое соединение, только не как результат одного общего ограничения, а как результат конкретных операций для каждого из перечисленных терминов в отдельности.

Следует обратить внимание, что всё, что мы можем сказать об элементах термина, объём которого больше, можно сказать об элементах термина, объём которого включён в объём первого термина. Если люди смертны, то древние греки смертны тоже. Но если люди обладают сознанием, то рука, как часть тела вовсе не обязана этим сознанием обладать. Также если полк – это крупное войсковое соединение, то взвод отнюдь.

Ограничить термин взвод можно. Для этого нужно понять, что этим термином обозначают вообще все войсковые соединения этого типа. Поэтому ограничить термин взвод можно, предложив для этого, например термин взводы российской армии, или какой-либо иной подобный термин. Если же мы получили в процессе ограничения единичный термин, например какой-либо конкретный взвод в нашем случае, или конкретного, человека, например Сократа, при ограничении термина человек, то процедуру ограничения со вновь полученными терминами далее вести невозможно. Единичные термины не ограничиваются.

 

Так же и обобщение термина рано или поздно упирается в преграду. Например, как обобщить термины всё, мир и тому подобные. В философских концепциях, предполагающих, так или иначе, более или менее жёсткую связь термина и реальности, такие термины максимальной степени общности называют категориями. Но, во-первых, сомнительно наличие непосредственных связей между термином и реальностью, эта связь возникла и осуществляется только в актах коммуникации в ситуациях коллективной приспособительной деятельности и таким образом усвоенная сохраняется осмысленной для нас, а не как результат растасовывания карточной колоды слов по отношению к познанной системе отношений вещей. Такое соответствие возможно только как вспомогательный приём в конкретных областях знания.

Во-вторых, подобное понимание приводит к множеству неразрешимых проблем и противоречий. В частности, как отметил немецкий философ Кассирер, если верен закон обратного отношения объёмов и содержания термина, о чём речь будет идти дальше, философские категории, как слова максимальной степени общности, содержательно пусты.

 

Изменение объёмов терминов, образованных в результате речевых процедур.

 

Вопрос о соотношении объёмов вновь образованного за счёт речевых процедур термина и исходного интересен, так как помогает решить задачу о соотношении объёмов терминов, не прибегая к процедуре их непосредственного сличения в случаях, когда такая зависимость доказана. Например, если мы имеем два исходных термина: термин люди и термин звери, то можно создать термин люди и звери. Возникает вопрос, как соотносится объём нового термина с объёмами исходных терминов.

Но подобная ситуация тривиальна. Реально в речевой практике при обсуждении проблем математики или теоретических областей знания мы часто имеем дело с гипотетическими объектами, наличие, отсутствие и дифференциация которых обосновывается наличием или отсутствием наблюдаемых признаков или параметров. Например, классом чётных чисел называют числа способные нацело делиться на два. А для человека, незнакомого с тем, что такое стул (для простоты мы специально приводим пример, всё-таки известного объекта), объяснить это можно сказав, что это предмет (надеемся, что он понимает, что это такое), относящийся к классу, который называется мебель (не уточняем признак, по которому мы выделяем этот класс, считая для простоты, что мы и он это тоже понимаем). Далее, что предназначение того, что мы обсуждаем, быть местом для сидения (надеюсь, это тоже понятно), для размещения одного человека (в отличие, как мы знаем, от лавки и скамьи), имеет спинку (надеюсь, вы помните ещё, о чём мы говорим, и понимаете, что таким образом мы отличим стул от табурета). А также не имеет ручек (подлокотников или как их там ещё не называй в отличие от кресла). Для того, чтобы подготовить данное объяснение к виду удобному для символической записи, мы можем сказать, что мы говорим о некотором неизвестном x, который обладает признаком A (быть предметом, а не каким-либо непредметным объектом), признаком B (быть мебелью), признаком C (быть предназначенным для сидения), признаком D (для размещения одного человека), признаком E (имеет спинку) и признаком F (не имеет подлокотников). В отношении последнего признака корректнее было бы сказать, что F – это признак иметь подлокотники и тогда рассматривать отсутствие этого признака, как ùF. Но не будем в этом примере усложнять картину. В символической записи наше утверждение выглядит следующим образом: x(A(x) & B(x) & C(x) & D(x) &E(x) & F(x)). И читается: x, который обладает свойством A, свойством B, свойством C, свойством D, свойством E и свойством F.

Если мы отбросим какой-либо признак, например, иметь спинку, то во вновь образованном термине объём будет больше, чем у исходного, так как кроме стульев в этот класс будут входить и табуреты. То же самое произойдёт, если мы попробуем отбросить и другие признаки. И наоборот, если мы будем возвращать отнятые признаки, то объём вновь образованной совокупности уменьшится. А символическая запись нового образования будет выглядеть как термин, обозначающий данную совокупность. Эта тенденция будет продолжаться, если мы будет добавлять новые признаки к уже имеющимся, например, выделим стулья, целиком выполненные из дерева (например, клееные или с деревянным крепежом). Затем допустим использование не деревянных крепёжных деталей. Затем допустим наличие хоть каких-нибудь деревянных деталей. И в каждом случае объём вновь образованной совокупности будет уменьшаться. Таким образом, мы можем сказать, что объём термина будет уменьшаться при увеличении количества признаков, на основании которых мы выделяем объекты в класс, и наоборот  объём будет увеличиваться, при уменьшении количества признаков.

Исходя из только что сказанного, формулируется так называемый закон обратного отношения объёма и содержания термина. Этот закон экстраполируется и на непредметные совокупности, например, на область объектов математики, где у нас чаще всего нет других средств оценки объёмов, кроме апелляции к количеству признаков у сопоставляемых реалий, обозначенных терминами.

 

Например, для начала сопоставим словесно выраженное содержание терминов "число, которое делится на два" и "число, которое делится на два и на три". Если отвлечься от смысла проблемы, то, очевидно, что количество признаков во втором случае большее, чем в первом. Чтобы не усложнять рассуждение и не иметь дело с бесконечным множеством чисел ограничимся первой сотней. Элементарный анализ, требующий знаний по математике на уровне начальной школы, заставляет нас прийти к выводу, что чисел, которые делятся на два больше, чем чисел, которые делятся и на два, и на три. Так как не все числа, которые делятся на два, делятся на три. Но и признаков у термина "число, которое делится на два" меньше, что соответствует требованиям закона об обратном отношении объёма и содержания терминов.

Но если мы сопоставим первый из терминов с термином "число, которое делится на два или на три", то легко убедиться, что союз или не подходит для объединения признаков, перечисляемых в содержании. Результат будет прямо противоположный, объём нового термина будет больше исходного, так как чисел, которые делятся на два или на три, будет больше, чем чисел, которые делятся только на два. Или, иными словами, если мы добавляем признаки, объединённые дизъюнктивно, объём нового термина становится больше.

К закону обратного отношения объёма и содержания терминов неоднократно предъявлялись претензии, которые частично опровергнуты не без пользы для понимания природы исследуемой проблемы, но опровержение некоторых затруднений не кажется убедительным. Если мы возьмём пример Больцано и сопоставим термины "шар" и "круглый шар", то без содержательного анализа мы обойтись не сможем. Добавление признака "круглый" нам в данном случае ничего не даёт, так как этот признак уже присутствует в нашем понимании термина "шар". Но другой пример Больцано намного сложнее. Возьмём термины "человек, знающий все европейские языки" и термин "человек, знающий все живые европейские языки". Словесно выраженное содержание первого термина меньше, чем у второго, отсутствует слово "живые". Но и людей, которые могут знать все европейские языки, включая мёртвые, вышедшие из обихода, должно быть меньше. Налицо несоответствие закону об обратном отношении объёма и содержания терминов. Но, если присмотреться, буквальное сопоставление этих терминов невозможно. На самом деле следовало бы сопоставить термины "европейские языки" и "живые европейские языки". По отношению к этим терминам закон выполняется. А в отношении предыдущих терминов необходимо осознать, что на самом деле мы имеем дело с терминами, которые можно было бы сформулировать как "люди, овладевшие меньшим количеством навыков" и "люди, овладевшие большим количеством навыков". Сопоставить объёмы этих терминов можно, но только в результате содержательного анализа, количество признаков в содержании и них одинаково. Как мы видим, чисто формально к решению подобных задач подходить нельзя.

 

Если мы к совокупности объектов, обладающих, например признаком A, добавим объекты, обладающие, например признаком B, то вновь образовавшийся объём естественно окажется больше исходных объёмов, как и в ранее приводившемся примере, где мы создали класс людей и зверей. Причём во вновь образованном объёме окажутся объекты, обладающие признаком А или признаком В. Поэтому во вновь образованном термине признаки окажутся соединёнными дизъюнктивной связью. А в символической записи это будет иметь вид x(А(x) Ú В(x)) и читаться: такой x, который обладает признаком А или признаком В. Исходные термин в символической записи выглядят как: xА(x) и xВ(x). Таким образом, к более общему термину можно перейти, добавив к его содержанию дизъюнктивно какие-либо признаки, и наоборот, если мы удаляем какой-либо из дизъюнктивно объединённых признаков из содержания термина, то этим мы ограничиваем объём термина.

 

Проблематично рассмотрение соотношения объёма и содержания терминов, соединённых связкой, обозначаемой символом материальной импликации. В интерпретациях, сложившихся в традиционной логике в Новое время в 17-ом 19-ом веках и апеллирующих к операциям с объёмами, складывается понимание, что антецедент, термин стоящий слева от знака импликации, больше по объёму, чем консеквент, термин, стоящий справа от знака импликации. Например, если люди смертны, то древние греки, будучи людьми, несомненно, также обладают данным признаком, но по объёму их количество меньше, и объём этот включён в объём термина люди. Но обоснование материальной импликации операциями с классами ведёт к известным парадоксам, о которых можно ещё будет поговорить дальше в соответствующем месте. Поэтому в более поздних концепциях, предпринимается попытка обоснования апелляцией к содержанию терминов. Чтобы из антецедента следовал консеквент, антецедент должен быть содержательно богаче больше, чем консеквент. Но это вступает в противоречие с законом обратного отношения объёма и содержания термина, раз уж мы только что согласились с тем, что объём антецедента больше объёма консеквента. Если же мы под содержанием термина будем понимать не перечень дискурсивно определённых признаков, а нечто только подразумеваемое, то такой подход в рамках логики должен быть признан лежащим за пределами возможностей как логического, так и иных средств контроля. А, значит, и выведен за пределы здравомыслия.

Существуют попытки осмысления иных преобразований и их влияния на изменение объёма, но в связи со сказанным только что мы не будем их рассматривать.

 

Деление объёма термина.

 

Делением термина называется операция, раскрывающая его объём. Деление предполагает ограничение объёма исходного термина таким образом, что объёмы вновь полученных терминов составляют вместе взятые объём исходного термина, а, значит, не пересекаются и не оставляют вне себя никаких элементов исходного объёма. Исходный термин называется родовым, а получаемые в результате деления называются видовыми. Деление термина предполагает его ограничение к ближайшему виду, но может быть проведено столько раз, сколько это допускают требования к ограничению (нельзя ограничить термин, в объёме которого содержится один элемент). При этом за один раз проводится только одна операция деления.

Деление всегда проводится по некоторому признаку, который называется основанием деления. Если этот признак присущ части элементов, а у других отсутствует, то такое деление называют дихотомическим. Деревья, например, бывают лиственными, но некоторые этим признаком не обладают (хвойные). При дихотомическом делении объём термина делится на два подкласса, не имеющих общих элементов.

Но у собирательных терминов элементы с наличием или отсутствием признака могут быть рассортированы так, что одни объекты будут состоять из составных частей только с наличием признака, другие – из составных частей только с отсутствием признака, а у третьих в той или иной пропорции будут присутствовать оба вида составных частей. Так по тому же признаку лиственный или безлиственный (хвойный) леса делятся на лиственные, хвойные и смешанные.

На изображении это будет выглядеть так:

                    Деревья.                                   Леса

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                           

Если признак присущ всем элементам не собирательного термина (деревья все деревянные) или нет его отсутствия ни у одной составной части элементов в собирательном термине, то в виде основания деления он не может быть взят.

Повторим основные принципы правильного деления объёма термина.

1. Результаты (члены) деления должны исключать друг друга, у них не должно быть ни одного общего элемента (отношение исключения объёмов, а не пересечение).

2. Объёмы результатов деления в сумме должны составлять объём делимого понятия (ошибкой является как то, что сумма делимых больше исходного объёма, так и то, что она меньше его).

3. Деление должно происходить только по одному основанию (иначе объёмы видовых терминов не будут исключать друг друга).

4. За один раз должна проводится только одна операция деления (иначе в одном результате деления будут собраны видовые термины, полученные по разным основаниям деления).

 

Классификация.

 

Проблема классификации не является чисто логической. Существует много причин понуждающих в разных целях проводить подсобные временные, но часто долго живущие систематизации, не выдерживающие сколько-нибудь серьёзной логической критики, но выполняющие функцию предварительной ориентировки в материале. Но и в сколько-нибудь научных классификациях также нередко используются принципы не логической природы. Логические средства контроля предполагают в идеале организацию классификации как развёрнутого рассуждения или представление её как операции с объёмами, что не соответствует реальным широко используемым и признаваемым строгими классификациям.

Наиболее строгими с логической точки зрения являются таксономические классификации, совпадающие с процедурой деления объёма термина. Но в практике классификаций используются и мереологичечкие классификации, в которых мы имеем дело с делением целого на части, как, например, в анатомической классификации (человек состоит из головы, тела и конечностей). Мы по аналогии с процедурой деления объёмов предъявляем к подобным классификациям претензии проводить подобное условное членение только один раз, проводить его к ближайшим терминам, требуем, чтобы в сумме части соответствовали начальному объекту, и чтобы основание деления не подменялось в процессе членения.

Но, как мы уже указывали, на практике используются самые различные классификации, в которых смешение таксономических и мереологических принципов является ещё не самым большим грехом.

 

Содержание термина как логическая проблема.

 

В логике, как мы уже указывали, содержание термина, то, что мы подразумеваем, употребляя термин, словесно выражено. Хотя на практике для уточнения того, что мы имеем в виду, часто используются и не дискурсивные средства, например можно просто указать пальцем, чтобы показать предмет, который мы имеем в виду и называем определённым образом. Такой приём указания не совсем удачно называют остенсивными определениями. А можно и просто повысить голос, надеясь, что подразумеваемое нами понятно из ситуации или контекста речи.

Процедуру выявления содержания термина мы будем называть дистинкцией (прояснением). Таким образом, мы можем по правилам деления разделить все способы уточнения понимания на указания и дистинкции. К указаниям следует отнести и некоторые приёмы письменной речи, например, выделение шрифтом, которое является аналогом повышения голоса, или сходные приёмы, но с использованием лексики или символической записи, которые также с этой точки зрения будут являться указаниями или остенсивными определениями. Например, отсылку к слову на определённой странице и строке и на определённом месте.

Дистинкции предполагают использование речи для выявления понимания того, что подразумевается при использовании термина. Часть дистинкций не является строгими с точки зрения однозначного уточнения содержания термина и соответственно, что ещё более важно, однозначного выделения обсуждаемых обозначаемых термином реалий. Или иными словами не гарантирует нас от подмены понятия, не позволяет эту подмену без специальных навыков заметить, выделить и продемонстрировать средствами логического контроля. К таким дистинкциям относятся непосредственное сравнение, описание той или иной степени существенности, точности и подробности, куда можно отнести и характеризацию не воспринимаемых параметров, например, наши оценки других людей, а также словесно выраженные ассоциации, опирающиеся на наш эмоциональный опыт. К не строгим дистинкциям следует отнести филологические интерпретации содержания термина: этимологизацию во всех её разновидностях, сопоставление с лексикой в других языках и диалектах, грамматическую интерпретацию термина, а зачастую и отсылки к так или иначе интерпретируемому содержательному контексту, по большей части художественному.

Дистинкции, в особенности их строгую разновидность – определения, в некоторых текстах принято выделять. В таком случае перед дистинкцией или над знаком тире, если определяемый термин отделён явно от проясняющей части, ставят латинские буквы Ds, Dt, Dn или что-нибудь ещё. Как кому нравится.

 

Определение.

 

Строгие с логической точки зрения дистинкции принято называть определениями (дефинициями, коротко Df, которое для наглядности часто ставится непосредственно перед определением или под тире, отделяющим определяемую часть от определяющей в явных определениях). Строгость определений с логической точки зрения заключается в том, что они должны обеспечивать однозначно понимание определяемых терминов, гарантируя от его подмены или, по крайней мере, позволяя провести какие-либо контролирующие процедуры для обнаружения подмены, если она случится.

Определения в свою очередь подразделяются на неявные определения и явные определения. У неявных определений нет чёткой структуры деления на определяемое и определяющее. К неявным определениям относятся, во-первых, контекстуальные определения в тех контекстах, которые обеспечивают однозначное понимание терминов. Как правило, это контексты, апеллирующие к известной оппонентам практике, например, технологической практике или практике эксперимента, а также практике речевого обсуждения и принятия решения для некоторых видов социально значимой деятельности. Вне подобного контекста термин теряет свою однозначность и может быть понят и интерпретирован иначе. А для неологизмов может и вовсе потерять смысл.

Другим видом неявных определений являются аксиоматические определения. Примером аксиоматических определений может служить аксиоматическое построение какой-либо логической операциональной системы, задающей таким образом значение логических связок-констант, или аксиоматически построенные математические модели, например, в геометрии или теории чисел. В любом случае аксиомы служат здесь контекстом, обеспечивающим или однозначное понимание правил оперирования демонстрацией важнейших случаев подобного оперирования (их должно быть необходимое и достаточное количество). Или, как, например, в геометрии, аксиомы, по крайней мере некоторые из них, излагают понимание важнейших реалий, как они понимаются математиками, оперирующими ими. Для тех, кто часто практикует работу с аксиоматическими определениями, внешний вид аксиом и результатов, полученных с их помощью, во многих случаях является значимым и часто поддаётся учёту, поэтому оперирование аксиоматически заданными терминами может быть алгоритмизировано и перепоручено техническому устройству.

У явных определений имеется чёткая структура. Термин, который мы определяем, он обычно стоит слева, называется определяемым или дефиниендумом. То, что обычно стоит справа от определяемого термина, его разъясняет и называется определяющим или дефиниенсом. В явных определениях определяемое и определяющее можно поменять местами без ущерба для понимания или использовать друг вместо друга в различных частях текста. Последнее, правда, невозможно сделать в рамках самого определения, так как, к примеру, фраза: человек - это человек (а не что-нибудь иное),– превратит явное определение в остенсивное или в ассоциативную дистинкцию в зависимости от того, что мы вкладываем в эти слова. А в строгом смысле создаст ошибку, которая называется круг в определении. В строгих контекстах определяющее является правилом введения определяемого в язык.

Явные определения подразделяются на определения через род и видовые отличия (иногда их называют атрибутивно-реляционными) и на генетические определения.

В определениях через род и видовые отличия определяющее (дефиниенс) также структурировано. Определяющее всегда в таких определениях можно преобразовать так, чтобы первый термин, стоящий в определяющем, демонстрировал род, класс, обозначал наиболее общий объём, в который входит определяемое, а остальные термины обозначали видовые отличия, признаки, выделяющие подклассы, ограничивающие объём, обозначаемый родовым термином. Например, определение: человек – это разумное животное, следует выстроить так: человек - это животное разумное. Термин животное в данном случае является родовым, а разумное – видом. Как это изобразить с помощью кругов Эйлера следует сообразить самостоятельно.

В генетических определениях определяющее (дефиниенс) не структурировано. В генетических определениях описывается процедура возникновения или конструирования того, что обозначается определяемым, либо задаются правила построения объекта, обозначенного определяемым. Примером первого варианта генетического определения может служить определение окружности, как того, что получается в результате движения красящего вещества на плоскости, когда один конец радиуса закреплён. Примером второго варианта – определение какого-либо химического вещества, как того, что получается в результате определённой химической реакции, выполненной при определённых условиях.

Попробуем свести всё сказанное о выделении термина и прояснении его содержания в таблицу.

 

                                                      Указания

                  На объём                                   На термин

          Не речевое   Речевыми                            Средствами  Параречевыми

                                  средствами                          речи               средствами

 

                          Дистинкции

 Не строгие                             Строгие (определения)

(сравнение,                Не явные                      Явные     

описание,                       (контекстуальные,               (родовидовые,

ассоциация)                   аксиоматические)                генетические)    

 

Ошибки в определениях терминов.

 

Ошибки в определениях содержательно связаны с тем, что не обеспечивают понимание термина, не обеспечивают стабильности этого понимания и поэтому позволяют неконтролируемо подменять то, что подразумевается при использовании тех или иных терминов.

Во-первых, нельзя определять непонятное через непонятное (или ещё более непонятное). Или, иными словами, нельзя неизвестный термин, или знакомое по иным контекстам слово, используемое специфическим образом в требующем определения этого термина контексте, определять, используя слова, смысл которых непонятен или не вполне понятен. Поэтому нельзя в рамках определяющего использовать метафоры или рассматривать крылатые выражения в качестве определений. Общеупотребительность, частое использование в обиходе или эмоциональная понятность не гарантируют единства понимания, а, значит, будут вести к ошибке, которая называется подмена понятия.

Во-вторых, в определяющей части не должно стоять терминов с тем же смыслом, что и определяемый термин. Такая ошибка называется кругом в определении. Такие формулировки не проясняют значение термина, а, значит, также не являются определениями. Простейший вид такой ошибки – тавтология, когда термин определяется через тот же термин. Но чаще эта ошибка более скрыта тем, что автор дающий определение обещает вскрыть некоторые не вполне понятные составляющие определяющего далее иногда через много страниц и глав текста, вводя для этого дополнительную информацию, без которой, как ему кажется, невозможно вскрыть точное значение терминов, используемых в определяющем. При этом появляется возможность не один раз использовать при определении терминов определяющего – термин, который стоит в определяемом, запутывая картину промежуточными определениями.

В-третьих, в связи со сказанным, в определяющей части должны стоять термины, объём и содержание у которых определены.

И, в-четвёртых, объём термина в определяемой части должен быть равен объёму понятия в определяющей части. В ином случае мы имеем дело с ошибками. Или с так называемым слишком широким определением, когда объём определяющего больше объёма определяемого, и мы можем вместо подразумеваемого указывать на объекты не являющиеся таковыми. Или с так называемым слишком узким определением, когда объём определяемого больше объёма определяющего, и некоторые подразумеваемые объекты окажутся за пределами дискурсивно определённого рассмотрения.

 

В целом определения, как и дистинкции, ориентированы на уточнение того, что мы имеем в виду по отношению к исследуемой реальности, которую мы как-то обозначаем. В таком случае мы говорим о реальных определениях. Но мы можем иметь в виду и прояснение смысла слова, которое мы используем при обсуждении проблемы. В таком случае определение называется номинальным (от латинского nomina - имя). Внешне такие определения отличаются тем, что в номинальных определениях мы каким-либо образом отмечаем, что мы определяем слово. Например, мы говорим, что словом или термином бог, мы называем или обозначаем то-то и то-то, или говорим, что богом мы называем то-то и то-то. Очень часто давая номинальные определения, а у нас нет в целом причин, которые могли бы запретить введение термина и объяснения его смысла, происходит подмена, и термин, которому мы дали определение представляется реальностью, наличие которой ещё необходимо обосновать. Причём во многих случаях логическими средствами этого сделать невозможно.

Ещё одно заблуждение связано с попытками создать строгую систему определения всех терминов. Не вдаваясь ещё раз в подробности природы речи, всё-таки следует обратить внимание на то, что количество слов в языке хоть и огромно, но всё же ограничено. И, поэтому, неясно, как мы будем определять термины, не создавая круга в определениях. Представление о некоторых терминах, как имеющих какую-то особую достоверность, не выдерживает серьёзной критики и не соответствует природе речи.

 

Тема 4. Высказывание.

 

Мы уже обращали внимание на то, что в практике логического контроля рассуждения мы подвергаем исследованию материализованный носитель рассуждения – речь, и следующим после уровня слов уровнем организации речи является уровень предложений. Посмотрим, какие значимые с логической точки зрения параметры мы можем выделить на этом уровне.

Мы помним, что под рассуждением мы понимаем использование речи для непосредственной передачи сведений, сообщений, информации. Поэтому не все виды предложений имеет интерес исследовать с этой точки зрения. Так за пределами логического анализа окажутся фразы, выражающие эмоции, признания в чувствах, оценочные вкусовые суждения. Так же за пределами логического анализа окажутся фразы побудительного или запрещающего характера, нормативные утверждения. Вне логического анализа окажутся вопросительные предложения, а также определения. Предложения, как минимальные, полноценные и законченные составляющие осмысленной речи, которые останутся, а останутся повествовательные предложения, в которых содержатся сообщения, сведения, информация, называются высказываниями, и так их будем называть мы. Иногда высказываниями называют то, что соответствует в речи предложению, в противовес выражаемому в предложении смыслу, который в логике называют суждением и представляют словесно выраженным. В таком случае интересующий нас вид предложений называют ассерторическими высказываниями, в отличие от высказываний вообще.

 

Исследование высказываний в традиционной логике.

 

Если быть точным, в традиционной логике исследуются, по пониманию авторов, занимающихся этой проблемой, не высказывания, а суждения. Но мы, исходя из наших предпосылок исследования овнешнённой речи, будем рассматривать накопленный в традиционной логике материал в отношении высказывания, тем более что это оказывается в данном случае не существенным.

Во-первых, следует обратить внимание на то, что уже в традиционной логике исследуя высказывания с логической точки зрения в их способности передавать содержание, мы в значительной степени от этого содержания отвлекаемся. Но с определёнными уточнениями. Мы отвлекаемся от содержания дескриптивных терминов, которые хоть как-то связаны с реалиями действительности. Мы исходим из предположения, что логические параметры, которые существенны для логического контроля дескриптивных терминов, мы исследуем средствами, изложенными нами в предыдущей теме, терминам и посвящённой. Исследуя высказывание, мы не интересуемся содержанием дескриптивных терминов, предполагая, что там всё в порядке или, на худой конец, мы известными нам средствами эти ошибки выявим.

Нас интересует, как зависят логические свойства высказывания от других его составляющих. А другими составляющими высказывания являются логические константы. Собственно они и определяют способ организации высказывания с логической точки зрения, его значимую с логической точки зрения структуру или, как принято говорить в логике, его форму (или логическую форму высказывания).

Во-вторых, следуя вообще характерному для традиционного сознания представлению, вслед за Аристотелем в традиционной логике закрепляется представление о том, что, высказывая что-либо, мы утверждаем об этом. Традиционная логика не признаёт пустого содержания высказываний так же, как не признаёт пустого объёма и содержания терминов, к объединённому смыслу которых в целом содержание высказывания и сводит, хотя в некоторых других областях, например в теории перевода существуют и другие точки зрения. Понимание того, что утверждение является обязательной характеристики волеизъявления, приводит к затруднениям при необходимости отличить утверждение в подобном смысле от утверждения в смысле противопоставления отрицанию и, как следствие, к нагромождению вспомогательных разъяснений, накапливающих в себе противоречия и неразрешимые проблемы. Во всяком случае, несмотря на то, что мы отвлекаемся при рассмотрении суждения от содержания дескриптивных терминов, мы должны помнить всё-таки о специфике их понимания в традиционной логике и, иллюстрируя нашу аргументацию примерами, не приводить примеров с терминами, не имеющими в своём объёме ни одного элемента. Мы ещё вернёмся к этой проблеме при исследовании конкретных логических преобразований.

В-третьих, в традиционной логике, как мы уже отмечали, рассматривая историю формирования логических представлений, складывается вслед за Аристотелем взгляд на высказывание (точнее суждение, как мы отмечали, но мы, как мы договорились, будем это игнорировать), как на отношение (после соответствующих преобразований) между грамматическим подлежащим в современном понимании (то, о чём мы сказываем, по Аристотелю) и грамматическим сказуемым (то, что мы сказываем о том, о чём мы сказываем; не пугайтесь этой сложной конструкции, у Аристотеля это ещё сложней, но в подробности мы вникать не будем). В связи с этим, в традиционной логике используются представление о структуре высказывания (точнее о структуре простого высказывания), как о взаимоотношении субъекта и предиката и со средних веков используется соответствующая традиционная символика для изображения структуры подобных высказываний: S суть Р или S – P. Вместо слова-связки суть, там, где это удобней, допускается использование слов: есть или является.

 

В традиционной логике термин суждение как раз и применяют в отношении подобной структуры высказывания, способной быть обозначенной символами и значимой для логического контроля. Но в тоже время в традиционной логике под суждением понимается и содержание высказывания, а это вступает в противоречие с тем, что в логической структуре высказывания мы отвлекаемся от содержания дескриптивных терминов, без чего говорить о содержании практически невозможно, не обманывая себя и не нагромождая логических ошибок. Именно необходимость выйти из этого порочного круга наряду и другими оговариваемыми в пособии причинами и заставила в концепции изложения логического учения последовательно проводить линию овнешнения параметров логического контроля.

 

В-четвёртых, только что описанные представления о структуре в полной мере подходят лишь для атрибутивных высказываний. Но в традиционной логике по мере её развития стали исследоваться и другие типы высказываний, содержание которых не вполне укладываются в эту схему, а то и не укладываются вовсе. Под атрибутивными высказываниями в традиционной логике понимаются высказывания, в которых объекту, обозначенному термином, стоящим на месте субъекта, приписываются признаки, обозначенные термином, стоящим на месте предиката. Это создаёт значительные трудности, когда признак выражен не лингвистическим определением, грамматически соответствующим имени прилагательному, например: снег белый или Сократ смертен, а, как это часто бывает, сказуемым, глаголом, например: человек бежит. Последний пример ещё поддаётся органичному преобразованию в человек бегущий (или человек суть бегущий), но подобное преобразование удаётся не всегда так просто, а то и не удаётся вообще. Для решения затруднений подобного типа в традиционной логике выделяется ещё два вида высказываний: высказывания об отношениях и высказывания о существовании. Высказывания об отношениях предполагают, что мы имеем дело не с одноместным предикатом, как в атрибутивных суждениях, а с двух и более местными. Например, Пётр знакомый Михаила. В высказываниях о существовании речь идёт о существовании или не существовании каких-либо объектов. Например: бог есть или в более привычной для логиков форме бог суть существующий. Последний способ записи предполагает рассмотрение существования как предиката, но это понимание было содержательно подвергнуто серьёзным сомнениям многими исследователями, а затем его несостоятельность была продемонстрирована средствами нетрадиционной логики, что и мы постараемся показать в соответствующем месте.

 

Виды простых атрибутивных суждений.

 

В структуре простых атрибутивных суждений в классической традиционной логике, кроме субъекта, предиката и связки выделяют также квантифицирующие слова: все и некоторые, а также отрицание. В отношении квантифицирующих слов не лишний раз напомнить, что в традиционной логике индивидуальный термин рассматривается, как имя класса с единичным элементом. В таких высказываниях применение квантифицирующего слова "все" неуместно из стилистических соображений, мы не говорим, что все Сократы смертны, а говорим, что Сократ смертен. И в символической записи также не употребляем термин все, но такие высказывания всё равно считаем общими, так как признак-свойство-атрибут относится без исключения ко всем объектам класса, хотя он и один. Высказывания, в которых используется квантифицирующее слово некоторые или эквивалентные ему слова, принято называть частными. Деление всего множества атрибутивных высказываний на общие и частные принято называть делением атрибутивных высказываний по количеству, так как речь идёт о количестве объектов, которым мы приписываем признак.

Кроме этого всё множество атрибутивных высказываний можно разделить дихотомически по основанию наличия или отрицания на связке. Такое деление высказываний называется делением по качеству. Если отрицания на связке нет, отсутствует, то такие высказывания называются утвердительными. Если отрицание на связке есть, присутствует, то такие высказывания называются отрицательными. Следует обратить внимание, что отрицание должно находится именно на связке, а не на предикате. Так высказывание боги не суть смертны будет отрицательным, а высказывание боги суть не смертны будет утвердительным при таком понимании. Это, конечно, создаёт трудности при обработке фраз типа "боги бессмертны". Но, как мы уже указывали, различение места постановки отрицания существенно и учитывается при преобразованиях высказываний в умозаключениях традиционной логики.

Если рассмотреть атрибутивные высказывания по двум параметрам одновременно общие они или частные и утвердительные они или отрицательные, то мы получим четыре вида высказываний: общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные. Средневековый византийский логик Михаил Псёлл для подобной классификации высказываний предложил схему, которая называется логический квадрат, значение которой выходит за пределы только удобной иллюстрации для классификации атрибутивных суждений.

Но пока посмотрим, как эта схема выглядит. На верху этой схемы изображаются общие суждения, а внизу - частные. Слева мы изображаем утвердительные суждения, а справа - отрицательные.

Общеутвердительные суждения обозначаются буквой А.

Общеотрицательные суждения обозначаются буквой Е.

Частноутвердительные суждения обозначаются буквой I.

Частноотрицательные суждения обозначаются буквой О.

 

                                    Общие высказывания

 

                      Все S суть Р               Все S не суть Р

                                     А                    Е

Утвердительные                                           Отрицательные

высказывания                                                высказывания

                                         

                                        

                                     I                     О           

                   Некоторые S суть Р               Некоторые S не суть Р

 

                                   Частные высказывания

 

В общеотрицательных высказываниях, чтобы не нарушать симметричности мы записали такие высказывания как: все S не суть Р. Но, чаще, встречается запись подобных высказываний: ни один S не суть Р., где кванторное слово все заменено словом ни один. И так же обычно записываются и произносятся содержательные высказывания (ни один ребёнок не является взрослым, что, по сути, то же самое, что и все дети не являются взрослыми).

 

Распределённость дескриптивных терминов в атрибутивном высказывании.

 

Проблема распределённости терминов – это проблема во многом архаичная со вспомогательной обслуживающей функцией. Функция эта заключается в использовании полученных таким способом данных как формального средства при проверке правильности построений в простом категорическом силлогизме. С появлением пусть и не менее громоздких, но более простых для понимания средств проверки с помощью кругов Эйлера исследование распределённости терминов может служить только как пример раннего осмысления и построения формальных средств контроля рассуждения. Именно с этой целью мы и займёмся этой проблемой, хотя её можно безболезненно пропустить без ущерба для понимания современного аппарата логики и вообще не включать в учебные пособия.

Определение того, что следует понимать под распределённостью, достаточно громоздко. Термин считается распределённым, если соответствующий класс объектов полностью входит (включён, если кому-то так проще) в класс, соответствующий другому термину, или полностью исключён из него. Или, если представить круг, изображающий класс объектов, проекцией яблока, то если яблоко целое (тень от другого яблока при этом во внимание не принимается), то термин считается распределённым. Если же яблоко надкусано или у него червяк выгрыз середину, то термин считается нераспределённым. Посмотрим на примерах. Мы помним, что у нас может быть лишь четыре случая соотношения объёмов.

Случай первый. В высказывании: все конники являются кавалеристами, объёмы обоих дескриптивных терминов (конники, кавалеристы) совпадают. Объём каждого из этих терминов полностью включён в объём другого термина (ничего не выгрызено ни из одного из объёмов этих терминов).

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому можно сказать, что оба термина распределены.

Случай второй. Для удобства мы несколько изменим порядок рассмотрения соотношения объёмов и рассмотрим высказывание: ни один кит не является рыбой. В данном случае объёмы этих терминов исключают друг друга и это, естественно, обеспечивает сохранность изображений этих объёмов от ущерба.

 

 

 

 

 

Следовательно, оба термина распределены.

Случай третий. Отношение включения терминов, как, например, в высказывании: все люди млекопитающие. В этом случае включённый объём никакого визуального ущерба не получит (объём полностью включён в другой объём). А из более общего объёма будет "выедена" середина, от него останется только кольцо (объём термина млекопитающие не полностью включён в объём термина люди и не полностью исключён из него; не все млекопитающие являются людьми, но часть их всё-таки таковыми являются). Обратите внимание, что объём термина млекопитающие занимает всю поверхность, очерченную большей окружностью, а не только внешнее кольцо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, термин с большим объёмом в подобных случаях всегда нераспределён (в нашем случае термин млекопитающие), а термин с меньшим объёмом всегда распределён (в нашем случае термин люди).

Случай четвёртый. Пересечение объёмов терминов. В подобном случае может быть два варианта. Во-первых, когда в высказывании идёт речь об объёме общем обоим терминам, как, например, в высказывании: некоторые студенты курят.

                                           Студенты       Курящие

 

 

 

 

 

 

Те студенты, которые оказались курящими, будут находиться на территории, принадлежащей обоим классам. Причём в такой ситуации ни один объём не оказывается ни полностью включённым в объём другого термина, ни полностью исключён из него (из обоих терминов выгрызено по кусочку). Следовательно, оба термина в этом случае не распределены.

Во-вторых, когда в высказывании идёт речь о части объёма одного из терминов, как, например, в высказывании: некоторые студенты не курят. Те студенты, которые оказались некурящими, будут находиться на части территории, занимаемой классом студентов, на которую не распространяется признак класса курящие. При этом класс курящих окажется полностью исключён из класса объектов, о которых идёт речь в высказывании (все курящие студенты попадут в объём курящих).

                                       Студенты        Курящие

 

 

 

 

 

 

Таким образом, термин студенты не распределён, а термин курящие распределён.

 

Алгоритм проверки распределённости терминов атрибутивных высказываний.

 

Для проверки атрибутивных высказываний в отношении распределённости терминов, во-первых, следует трансформировать высказывание в стандартную удобную для символизации форму. К примеру, предложение: смертны все люди, для удобства анализа формулируем в виде: все люди смертны.

Во-вторых, записываем это высказывание в символической форме:

все S суть Р.

В-третьих, изображаем соотношение объёмов этих терминов на кругах Эйлера.

 

 

 

 

 

 

 

Будьте внимательны, проделывая эту процедуру. Вспомните о том, как вы определяли соотношение объёмов терминов, когда эти термины не были связаны в одном высказывании. Попробуйте, если у вас есть сомнение, проанализировать схему: есть ли смертные, не являющиеся людьми, есть ли люди не являющиеся смертными. Попробуйте изобразить отношение объёмов другой схемой, например, схемой пресечения объёмов (всего то у нас четыре варианта), и проанализируйте её также.

В-четвёртых, определите распределённость терминов и отметьте знаком "+" тот объём, где термин распределён, и знаком "-" тот объём, где термин не распределён. Отметьте также распределённость терминов на высказывании:  

                                                  

                                                      +          -

                                               Все S суть Р.

 

Общеутвердительные высказывания могут дать две возможные схемы, первая с включением объёмов, как в нашем последнем примере, а вторая в случае, когда объёмы терминов совпадают (все конники – кавалеристы). В обоих случаях субъект высказывания (то, что мы обозначаем буквой S) распределён.

Общеотрицательные высказывания дают только одну схему, где термины взаимоисключают друг друга, и оба, поэтому, распределены. Можно сказать, что в общих высказываниях субъект всегда распределён.

Частноутвердительные высказывания могут дать две возможные схемы. Первая, как в примере: некоторые студенты курят,– приводит к нераспределённости обоих терминов. Вторая, как в примере: некоторые кавалеристы – конники,– приводит к распределённости обоих, так как объёмы этих терминов совпадают.

Частноотрицательные высказывания могут дать также две возможные схемы: с пресечением объёмов (некоторые студенты не курят) и с включением объёмов (некоторые смертные не люди). В обоих случаях субъект не распределён, а предикат распределён. Сравнив этот вывод с тем, что мы получили в общеотрицательных суждениях можно сказать, что в отрицательных суждениях всегда распределён предикат.

 

Исследование высказываний в нетрадиционной логике.

 

Особенности исследования высказываний в нетрадиционной логике связаны не только с особенностями символизации, принятой в нетрадиционной логике. Для точности скажем, что, кроме используемой в данном пособии системы символизации, предлагались и другие способы записи, например, система Лукасевича, но отличия эти в целом не принципиальны и связаны лишь с характером символов, способом их записи и, соответственно, с правилами чтения. Но одним из важнейших отличий понимания природы высказывания в нетрадиционной логике является иное, по сравнению с традиционной логикой, понимание природы такой характеристики высказывания, как истина.

 

Использование термина истина невозможно без понимания использования этого термина в предшествовавшей появлению логики приспособительной практике, и в этом термин истина не отличается от иных слов естественного языка. Согласие или несогласие с предлагаемым в ситуации коммуникативного взаимодействия вполне может быть лексически выделено и в языках неолитического уровня и, может быть, даже мезолитического или передаваться какими-либо иными речевыми средствами. С появлением цивилизации и характерных для неё общегосударственных культов, с появлением эпического предания, опирающегося на известные присутствующим события и зооморфные переосмысляемые в этот период представления, оценке начинает подвергаться предание, и, как продукт творчества, оцениваться с точки зрения соответствия ранее усвоенному непосредственно приспособительному и культово-значимому знанию. Термины, выражающие согласие или несогласие, такие как: правда-неправда, да-нет, истина-ложь или соответствующие им по смыслу, так переводимые на современный язык, появляются и в самом предании в дошедших до нас текстах, например в Ригведе. Запись этих текстов, правда, происходит чуть позже уже в эпоху традиционной рефлексии, где термины, характеризующие согласие или несогласие с сообщением используются достаточно часто.

С появлением логических исследований возникает необходимость осмысления и открытого дискурсивного выражения нашего понимания истины, как характеристики высказанного. В рамках ограниченных знаний и ограниченного уровня осмысления того времени, да и много позднее, термин истина понимается зачастую в несвойственной для него функции, часто метафорически, например, в словосочетании истинная вера. В древней Греции логические исследования начинаются благодаря заимствованию, как некоторых логических идей, так и идей, обеспечивающих возможность их усвоения в рамках в целом ориентированного на традицию мышления. Поэтому, например, у Аристотеля и у других авторов мы можем найти, как экстраполяцию термина истина в несвойственную в современном понимании для него область, так и различные толкования этого термина. Эти толкования, которые мы связываем с традиционной системой логики, выкристаллизовываются из предшествующих разработок и взглядов, по-видимому, лишь в "Логике" Пор-Рояля, где и можно обнаружить пусть и не всегда ясно сформулированные толкования, близкие к пониманию термина истина в современной нетрадиционной логике.

То, что мы привыкли понимать, как традиционное толкование термина истина, подхваченное в Новое время Гоббсом, Локком и другими авторами, связано с идущей от представлений Платона и подхваченной затем Аристотелем и стоиками концепции репрезентативной связи речи в её составляющих, с одной стороны, и действительности, с другой. При таком подходе истинность, являющаяся на самом деле оценкой согласия с информацией, передаваемой речевыми построениями, выглядит не как соответствие этой информации либо предшествующему оформленному речью опыту, либо осмысленному с помощью этого опыта наблюдению, способному быть оформленному речью. А выглядит как непосредственное соответствие речи в её значимых составляющих – действительности, соответствие, требующее неявного осмысления и заходящее на этом пути в тупик, при попытках это соответствие объяснить и продемонстрировать. В рамках этого подхода характеристика истинности начинает применяться и по отношению к неадекватным с современной точки зрения составляющим речи, например к терминам (или к понятиям). Таким способом пытаются решить проблему адекватности их реальности, проблему существования реалий, соответствующих обозначающему эти реалии термину или представленному этим термином пониманию.

В отношении высказываний такой подход создаёт также ряд трудностей. В первую очередь неразрешимой становится проблема, что собственно в высказывании соответствует реальности и должно оцениваться с точки зрения истинности. Например, Винтгенштейн пытается сводить содержание высказывания к содержанию составляющей его лексики, что ведёт к неразрешимым проблемам. Не лучше дело обстоит и с другими подходами понимания содержания высказываний. Но, с другой стороны, по отношению к проблеме истинности сложных высказываний репрезентативный подход, хотя он и не соответствует природе характеристики истинности, позволяет, во-первых, проиллюстрировать, пусть и не без сложностей и натяжек, особенности истинностных характеристик логических союзов, связывающих простые высказывания. И, во-вторых, в связи с этим, сделать проблему в первом приближении доступной для усвоения тех, для кого строгие подходы лежат за пределами возможностей понимания.

 

То понимание термина истина, которое чаще применяется в современной нетрадиционной логике, также неявно складывается практически с возникновением рассуждений о природе истинности рассуждений и связано с осмыслением сохранения этой характеристики при преобразовании рассуждений. Такое понимание заставляет постепенно прийти к осознанию, что истинность в аппарате логических преобразований – это не характеристика непосредственного соответствия высказанного и действительности, а выделенная характеристика, которая приписывается высказыванию и которая должна сохраняться или изменяться по известным правилам при преобразованиях высказывания. Преобразованиям этим подвергаются в таком случае логические объекты, высказывания, неважно в каком виде мы их представляем: в символическом или открыто речевом. Для этих целей мы выбираем или создаём такой математический аппарат, который адекватен природе операций, принятых в процессе рассуждений. При этом наша практика использования этого аппарата влияет на требования, которые мы предъявляем к рассуждениям.

 

В традиционной логике такое понимание ещё неотчётливо и часто подменяется более понятным в обиходе репрезентативным подходом. В современной логике, особенно в математизированных исследованиях логических проблем, новое понимание господствует. При этом термин истинность заменяется какой-нибудь иной маркированной математической характеристикой, например каким-нибудь числом (в классической логике термин истина заменяется единицей, а ложь нулём). Это позволяет включить такую характеристику непосредственно в аппарат исчисления, создать алгоритм, программу и перепоручить исчисление техническому устройству.

Таким образом, в нетрадиционной логике становится очевидным, что используемая в логике характеристика истинности не связана непосредственно с отношением отдельного высказывания с реальностью, а является допущением, соответствие которого с пониманием истины, как согласия с тем, в чём мы убеждены, необходимо ещё устанавливать. На современном уровне состояния знания, как показал Карл Поппер, такое подтверждение частично обеспечивается включением конкретного высказывания в качестве необходимой составляющей признанной концепции. Поэтому, например, высказывание, что солнце по утрам встаёт на востоке, истинно не потому, что мы регулярно, если не пасмурно, можем наблюдать этот феномен, а, если пасмурно, предполагать, что это всё равно так. А потому, что на основе приспособительной практики это утверждение о наблюдаемой действительности, а это свойство далеко не всех высказываний, многие куда более отвлечённые, включено в систему наших взглядов о мире, которые сформулированы или могут быть достаточно убедительно сформулированы. И только на основе этих взглядов, хотя мы и не видим восхода в пасмурную погоду, мы считаем, что утверждение, что солнце взошло на востоке, истинно в логическом содержательном смысле. К самим же взглядам в таком случае, если они ориентируют нас в реальности, применение термина истина возможно в том смысле, в котором это слово использовалось в ситуации коллективного согласия при оценке эпического, культово-значимого или иного приспособительного, значимого словесного творчества. Таким образом, за словом истина стоит не один смысл, и эти смыслы следует отличать.

 

Сложные высказывания.

 

И в традиционной и в нетрадиционной логике под сложными высказываниями понимают простые высказывания, соединённые логическими союзами. Так же, как это происходит в естественном языке в сложносочинённых и в сложноподчинённых предложениях. Но в отличие от естественного языка выбор союзов ограничен, а в бессоюзных конструкциях мы предполагаем пропущенным тот или иной, в зависимости от смысла, союз.

Для понимания особенностей сложных высказываний нас не интересует внутренняя структура простых высказываний, входящих в состав сложных. Поэтому при символизации высказываний для нужд подобных исследований, как и для исчислений высказываний, о чём речь будет идти в следующей теме, используются так называемые пропозициональные переменные, символы, замещающие целое предложение. В качестве таких символов для замены отдельных простых предложений используются строчные буквы латинского алфавита, обычно начиная с буквы p: p, q, r, s, t. Это связано с тем, что начальные строчные буквы используются в алгебре для замены числовых констант, а последние три там же для неизвестных. Для замены высказываний в метаязыке, как простых, так и сложных, чаще используются заглавные буквы латинского и других алфавитов. Возможно использование индексов при буквах для различения переменных.

Значение истинности сложных высказываний в современной логике задаётся с помощью таблиц, в которых демонстрируются значения истинности сложного высказывания при всех возможных наборах значений истинности составляющих их простых высказываний. Попробуем научиться это делать.

Рассмотрим сначала возможные сочетания значений двух высказываний. Каждое из этих высказываний в классической логике может быть либо истинным, либо ложным. Причём возможно, что оба будут истинными, возможно, что оба ложны, а возможно, что одно истинно, а одно ложно в двух вариантах. Для удобства изобразим это таблицей.

 

р	q
и	и
и	л
л	и
л	л

 

Обратим внимание на то, что в правом столбце значение истина-ложь чередуется, а в левом мы, чтобы не упустить все возможные сочетания значений, дважды пишем подряд истина и дважды ложь. Убедитесь, во-первых, что мы исчерпали все возможные сочетания значений истинности двух переменных. И после этого, во-вторых, обратите внимание на алгоритм составления таблицы. Мы, конечно, можем начинать заполнять её с правого столбца, но обычно всё-таки заполняют сначала левый столбец (сначала заполняем два раза истина, а затем два раза ложь).

Если вы убедились, почему и как мы заполняем таблицу для двух переменных, посмотрим, как заполнять её для большего числа переменных, сначала для трёх. Обратим внимание ещё раз на то, что для двух переменных мы исчерпали все возможности сочетаний. Но у третьей переменной может быть тоже только два значения. То есть с повторённым четыре раза значением истина третьей переменной, мы можем соединить все возможные сочетания значений остальных двух переменных:

 

и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л

 

И со значением ложь мы также можем соединить все возможные значения остальных двух переменных:

 

л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л	л

 

Посмотрите внимательно и убедитесь, что других возможных сочетаний значений трёх переменных быть не может. Если мы в этом убедились, то тогда мы можем представить эту таблицу единой, и тогда мы видим, что в самом левом столбце мы сначала пишем четыре раза истина, а затем четыре раза ложь. Во втором столбце мы пишем истина и ложь парами, а в последнем третьем по очереди. Пусть вас не смущает, что мы для новой таблицы сменили список переменных.

 

p	q	r
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л	л

 

Для четырёх переменных нам надо сначала повторить таблицу для трёх переменных, приписав слева восемь раз значение истина, а затем повторить таблицу для трёх переменных, приписав слева столько же раз значение ложь. Таким образом, мы видим, что количество строк в столбце равно 2n, где n равно количеству переменных в таблице.

 

Определение значений логических констант с помощью таблиц.

 

Для сложного высказывания, состоящего из двух простых высказываний, соединённых конъюнкцией (p&q), таблица будет выглядеть следующим образом (значение переменных p и q мы подставляем описанным только что способом):

 

p	&	q
и	И	и
и	Л	л
л	Л	и
л	Л	л

 

То есть сложное высказывание будет истинным только в случае, если истинны оба составляющих высказывания.

При интерпретации подобного высказывания в рамках традиционной логики такое высказывание интерпретируется, как объединение высказываний союзом "и". В таком случае мы можем представить данное высказывание, как сложносочинённое предложение, которое истинно, когда истинны оба его составляющих, и ложно, когда ложно хотя бы одно из его составляющих. То есть правда, что я был и в одном и в другом месте, но если я хоть в одном месте не был, то всё высказывание не верно.

Для сложного высказывания, состоящего из двух простых высказываний, соединённых дизъюнкцией (pÚq), таблица будет выглядеть следующим образом:

 

p	Ú	q
и	И	и
и	И	л
л	И	и
л	Л	л

 

То есть сложное высказывание будет ложным только в том случае, если оба составляющих высказывания ложны.

При интерпретации подобного высказывания в рамках традиционной логики такое высказывание интерпретируется, как объединение высказываний союзом "или". В таком случае мы можем представить данное высказывание, как сложносочинённое предложение, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из его составляющих, и ложно, когда ложны оба. То есть правда, если я был хотя бы в одном из указанных мест, но неправда, если не был ни в одном.

Для сложного высказывания, состоящего из двух простых высказываний, соединённых строгой дизъюнкцией (pxq), таблица будет выглядеть следующим образом:

 

p	x	q
и	Л	и
и	И	л
л	И	и
л	Л	л

 

То есть сложное высказывание будет истинным в случае, если оба составляющих высказывания имеют разное значение (одно истинно, а другое ложно). В случае если значения обоих высказываний совпадают (оба истинны или оба ложны), то сложное высказывание ложно.

При интерпретации подобного высказывания в рамках традиционной логики такое высказывание интерпретируется, как объединение высказываний союзом "либо, либо". То есть правда, что я был либо в одном, либо в другом месте, но только в одном, но если я был в обоих одновременно или не был ни в одном, хотя утверждал, что был где-нибудь, то всё высказывание не верно.

Для сложного высказывания, состоящего из двух высказываний, соединённых эквивалентностью (pºq), таблица будет выглядеть следующим образом:

 

p	º	q
и	и	и
и	л	л
л	л	и
л	и	л

 

То есть сложное высказывание будет истинным в случае, если оба простых высказывания имеют одинаковое значение (оба истинны, или оба ложны). В случае если значения обоих высказываний различаются, то сложное высказывание ложно.

При интерпретации подобного высказывания в рамках традиционной логики такое высказывание интерпретируется, как объединение высказываний словом "эквивалентно". То есть правда, что оба составляющих высказывания истинны (или оба ложны). Если значения составляющих высказываний различаются, то сложное высказывание ложно.

Для сложного высказывания, состоящего из двух высказываний, соединённых импликацией (pÉq), таблица будет выглядеть следующим образом:

 

p	É	q
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л

 

То есть сложное высказывание будет истинным в случае, если оба простых высказывания истинны или антецедент (левый член высказывания) ложен. Если антецедент истинен, а консеквент ложен, то сложное высказывание ложно.

При интерпретации подобного высказывания в рамках традиционной логики такое высказывание интерпретируется, как объединение высказываний союзом "если, то". Эта связка в традиционной логике, а затем по наследству и во многих нетрадиционных системах отождествляется с отношением следования, что ведёт не только к некоторой несуразице при попытке понять смысл этой связки в отношении её характеристик истинности, но и к парадоксам, демонстрируемым средствами современной логики. В отношении данной связки пока следует, во-первых, запомнить, что из истины не может следовать ложь (поэтому общее значение сложного высказывания в данной строке ложь). И что из лжи следует всё что угодно (поэтому значение сложного высказывания при ложном антецеденте всегда истина). И, во-вторых, чтобы хоть как-то прояснить последнюю трудно понимаемую зависимость, когда при ложном антецеденте общее значение высказывание истина, рассмотрим гипотетически причину выбора такого понимания отношения следования Аристотелем. По мнению Аристотеля необходимо быть внимательным при закладке оснований рассуждения, и если мы неправильно его заложим, выберем ложное суждение, то мы вынуждены будем всё, что мы построим на этом основании, признавать истинным, не имея возможности проверить, так ли это (из лжи следует всё что угодно). Таким образом, подход Аристотеля, а были и другие подходы, задаёт дополнительные претензии к правилам оперирования логическими союзами, обеспечивая этим возможность контроля рассуждения. Для операций в современной логике так, как их может выполнить техническое устройство, эти объяснения вообще не нужны. Они будут выполнены согласно значениям таблицы, которые мы заложим или введём в виде программы в техническое устройство.

Остаётся ещё определить, как будет выглядеть таблица для отрицания в классической логике:

 

р	kp
и	Л
л	И

 

Отрицание переводит значение высказывания в противоположное, если высказывание было истинным, то его отрицание является ложным, и наоборот, если высказывание было ложным, то его отрицание является истинным. Если я сказал правду, то отрицание того, что я сказал, ложь. И наоборот, если я сказал ложь, то отрицание того, что я сказал, истинно. Последнее также создаёт некоторые трудности, так как во многих ситуациях отрицание высказывания может не изменить характеристику истинности-ложности, например, при отрицании высказывания уже содержащего отрицание. Так, если стол не является стулом, то не не стол не обязательно является столом, а может оказаться табуретом, шкафом, верблюдом, числом p или чем угодно. Во всяком случае, подобная претензия была высказана интуиционистами, и на её основе была создана интуиционистская логика, устраняющая это недоразумение. Существуют и другие случаи, например, при наличии дополнительных характеристик значения высказывания, к примеру, наличие значения неопределённости. Но в традиционной логике, как и в обиходе, если мы не прибегаем к модальным уточнениям типа "может быть", "возможно", и тому подобным, мы придерживаемся позиции, что если я сказал правду, то её отрицание является ложью и наоборот.

 

Исчисление сложных высказываний с помощью табличных значений.

 

Для понимания дальнейшего нам надо представить, что в построенных нами таблицах вместо пропозициональных переменных стоят символы метаязыка, замещающие сложные высказывания. Тогда мы рассматриваем эти таблицы, как определение параметров логических союзов и можем использовать эти параметры для исчисления более сложных формул, сводя их к вычислению параметров между двумя переменными, чем мы сейчас и займёмся.

Попробуем вычислить значение формулы: (p&q) Éù (ùp&ùq). В нашей формуле две различных переменных: p и q. Следовательно, в таблице должно быть четыре строки возможных сочетаний значений. Составим таблицу и поместим нашу формулу на верхней строке:

 

p	q	(p&q)Ék(kp&kq)
и	и	и          л     л
и	л	л          л     и
л	и	л          и     л
л	л	л          и     и

 

В нашей таблице мы не только выставили значения, которые могут принимать переменные, но и произвели некоторые исчисления. Так мы вывели результат в первой скобке, где для того, чтобы не загромождать таблицу мы не повторяли значения переменных, которые можно посмотреть в столбцах слева. Сравните результат в скобке с табличным значением конъюнкции (не поленитесь это сделать). Мы также исчислили значение для ùp и для ùq (под отрицаниями соответствующих переменных поставили значение противоположное табличному). Продолжим исчисление:

 

р	q	(p&q)Ék(kp&kq)
и	и	и       и     л
и	л	л       и     л
л	и	л       и     л
л	л	л       л      и

 

В этой таблице мы дополнительно исчислили конъюнкцию ùp и ùq.

Для контроля опять смотрим в таблицу конъюнкции в те строки, которые соответствуют реальным нашим значениям из задачи, и помним, что мы работаем на этот раз со значениями ùp, ùq из нашей задачи, а не со значениями р, q. Мы также исчислили отрицание значений всей второй скобки, отталкиваясь от значения её результирующего столбца, и подписали результат под знаком отрицания в соответствующем месте. Осталось только исчислить импликацию значений обеих составляющих формулы:

 

р	q	(p&q)Ék(kp&kq)
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	и

 

Мы получили (не поленитесь проверить по таблице импликации), что во всех строках стоит значение истины, то есть такая формула истинна всегда независимо от значений истинности её составляющих высказываний, не останавливаясь на том, что нас при исчислении не интересует, а именно, осмысленны ли эти высказывания. Достаточно, что мы предположили, что мы можем определить их значение с точки зрения истины-лжи.

При выполнении только что использованных процедур обычно никто таблицу не переписывает, а заполняют одну таблицу. Для того, чтобы уменьшить возможность ошибок при выполнении рутинных операций, следует, во-первых, заполнять её аккуратно, выдерживая линии столбцов и строк, иначе отыскать необходимое значение будет крайне трудно, и во многих случаях проще переписать таблицу аккуратно, чем воспользоваться небрежной записью. Во-вторых, желательно букву л, отмечая значения ложь, писать Ù, а не как мы привыкли по правилам прописей, так как её иначе будет трудно в быстро и плотно заполненной таблице отличить от буквы и, обозначающей значение истина. В-третьих, результирующие столбцы для удобства необходимо выделять вертикальными линиями и подчёркиваниями: одинарными, двойными и так далее по мере приближения к окончательному решению; это поможет находить результаты промежуточных решений и по ходу исчисления и при проверке.

 

Исчисление сложных высказываний методом допущения.

 

Этот приём несколько сложнее только что описанного, так как он требует хорошего знания табличных значений связок. Эти табличные значения необходимо заучить так же, как заучена таблица умножения в арифметике, что многие знакомящиеся с логикой делают с неохотой. Но без свободного владения этим материалом дальнейшее продвижение в изучении логики проблематично. Метод, с которым мы сейчас познакомимся, во многом дополнительно способствует запоминанию табличных значений, которыми придется практически пользоваться. Он также является примером косвенного доказательства, что понадобится при анализе проблемы демонстрации доказательства в логике. Этот приём также помогает, во-первых, вспомнить о практике содержательных рассуждений в школьном курсе математики, что заодно продемонстрирует связь интеллектуальных процессов в различных областях знания, неявное применение в них логических навыков, а заодно снимет психологические комплексы, возникающие при знакомстве с новой непривычной областью знания за счёт обнаружения у себя привычных освоенных навыков.

Попробуем решить этим способом уже известную нам формулу: (p&q)Éù(ùp&ùq). Но сейчас мы будем рассуждать так. Главный знак этой формулы – импликация. Если у вас есть в этом сомнение, убедитесь, что результирующий столбец в этой формуле должен быть выстроен именно под этим знаком. В этой формуле других знаков импликации нет. В других формулах их может быть несколько или ни одного. В любом случае в первую очередь необходимо определить, где будет находиться результирующий столбец и, соответственно, главный знак формулы.

Вернёмся к нашей формуле. Табличное значение импликации истинно в трёх случаях, а ложно в одном. И именно этот случай мы попробуем исследовать, так как проще исследовать один случай, чем три. Правда в некоторых формулах, где главным знаком является не импликация, такой возможности может не быть. Иногда проще построить полную таблицу, чем анализировать, что можно предпринять, но в нашем учебном случае, к счастью нам всё удастся.

Итак, берём единственный случай, когда импликация ложна. В этом случае антецедент истинен, а консеквент ложен:

                                             (p&q)Éù(ùp&ùq)

                                                 и   Л л   (и)

Из того, что консеквент ложен, можно сделать вывод, что конъюнкция в правой скобке истинна (снимаем знак отрицания, обратите внимание ещё раз, где мы обозначили ложность консеквента):

                                                 ù(ùp&ùq)

                                                    и    и

Конъюнкция истинна в том случае, если истинны оба высказывания, которые она связывает. Поэтому и р и q в левой скобке должны быть истинными. Но также в нашем случае должны быть истинными и не р и не q во второй скобке (мы помним, что общее значение второй скобки без отрицания – истина). Но если мы снимем отрицания с не р и с не q, то они окажутся ложными, что противоречит результату, полученному в левой скобке, где они были истинными.

К этому же можно прийти и иным способом, который часто приходится применять при решении подобных задач. Мы переносим значение переменных, а в нашем случае они обе ложны, в левую часть и получаем ложность конъюнкции из этих значений переменных. А это вступает в противоречие с тем, что значение конъюнкции должно быть истинным исходя из значения, полученного при нашем начальном допущении.

Из этого мы делаем вывод, что

1) не верным было наше допущение, что импликация может быть ложной при каких-либо значениях пропозициональных переменных. Значит:

2) у нас нет такой строки в таблице, где в результирующем столбце могло бы стоять значение ложь. А значит:

3) наша формула истинна во всех возможных случаях (во всех сроках при всех возможных наборах значений переменных), что соответствует нашим выводам сделанным при помощи заполнения таблицы, как мы это сделали выше в предыдущем примере исчисления.

В случае, если бы наши значения переменных слева и справа сошлись бы, то это бы значило, что наше допущение верно, а значит, в формуле может быть такой набор значений пропозициональных переменных, при котором в результирующем столбце стоит значение ложь. Как, например, в выражении рÉq.

В более сложных, хотя бы из-за большего размера, формулах, где противоречие между значениями переменных в левой и правой части формулы не столь очевидно, необходимо значения переменных, подученных при расчёте одной из частей, перенести в другую часть соответствующим переменным. А затем, исчислив далее эту вторую часть искать противоречие со значением, полученным при начальном предположении. Самое главное в этом методе быть последовательным и не забыть к концу с чего мы начали.

 

Виды сложных высказываний с точки зрения их истинностных характеристик. Представление о законе логики.

 

В формуле, которую мы просчитывали в предыдущем примере, в результирующем столбце у нас получились все значения истина. Такие выражения, у которых в результирующем столбце стоят все значения истина, называются тождественно-истинными формулами или законами логики. Выражения, в результирующем столбце у которых стоят все значения ложь, называются тождественно-ложными. Тождественно-ложную формулу можно получить из тождественно-истинной, поставив перед ней знак отрицания. Поставив ещё один знак отрицания, мы получим опять тождественно-истинное выражение.

Выражения, у которых в результирующем столбце имеется хоть одно значение истина, называются выполнимыми. Все тождественно-истинные формулы выполнимы. Если в результирующем столбце представлены как значения истина, так и значение ложь, такая формула называется собственно выполнимой. Данная терминология вводится для удобства обсуждения истинностных характеристик высказываний, так как проще произнести тождественно-истинная формула, чем сказать, что речь идёт о формуле, у которой в результирующем столбце все значения истина. Заодно ещё раз обратите внимание, что слово истина мы используем здесь отнюдь не как подтверждение согласия с чьим-то содержательным высказыванием, а только как формальную метку.

 

С пониманием того, что в логике называют законом, к сожалению не всё выглядит корректно. Кроме того определения закона логики, которое было сейчас предложено, во многих учебниках логики используется  традиционное представление о так называемых трёх законах логики и принципе достаточного основания, принадлежащего Лейбницу. Принцип достаточного основания большинством авторов к счастью уже признаётся не логическим, а общеметодологическим принципом, который не только не формализуем, что должно было бы быть сделано, по мнению многих авторов, ориентированных на исчисляемость, для признания его законом. Но и вообще в своём применении не способен быть подвергнут анализу и контролю, так как нет критериев, по которым этот контроль может быть проведён.

Что касается так называемых трёх законов, то под ними традиционно понимают расширенно интерпретируемые тождественно-истинные формулы с одной переменной: рºр, ù(р&ùр), рÚùр, которые называют соответственно законом тождества, законом не противоречия и законом исключённого третьего. Но, во-первых, можно насочинять и иные законы в нашем понимании, составленные с помощью одной переменной, например закон снятия двойного отрицания: ùùрºр,– или закон pe(pep). Во-вторых, обратим внимание, что в так называемом законе тождества демонстрируется, что переменная эквивалентна самой себе. Если рассмотреть эту формулу методологически, как метаязыковое выражение, то можно прийти к выводу, что при преобразовании рассуждений мы можем, если высказывание р истинно, повторять это сколько угодно раз. Здесь связь между символическим выражением закона тождества и интерпретацией угадывается. Хотя методологические выводы можно, по-видимому, сделать практически из любой тождественно истинной формулы.

Но часто этот закон интерпретируется и как требование постоянства понятий в рассуждениях, требование само по себе верное, обеспечиваемое в правильно построенных рассуждениях, но следование этого из символической формулы закона тождества не очевидно. Можно, правда, записать эту формулу на языке логики предикатов, и тогда она будет иметь вид: "xP(x)º"xP(x). В таком случае, содержательное рассуждение приводит нас к выводу, что если оба выражения эквивалентны, то должны совпадать и наглядные составляющие этих формул, в том числе и переменная x. А значит, по-видимому, должен быть одинаков и обсуждаемый предмет, и подразумеваемый смысл. Но этот вывод мы делаем в отношении исследуемой формулы. Из этого вывода не следует, предписание быть выполняемым в остальных правильных с точки зрения логики рассуждениях. Это требование вытекает из содержательных предпосылок, так как если логические конструкции и процедуры не обеспечивают сохранение значения и смысла терминов, то, собственно говоря, зачем они тогда нужны. Сомнительно, что именно данная формула и является если не поводом к таким рассуждениям, то хотя бы их итоговой иллюстрацией. В лучшем случае её можно рассматривать узелком на память.

Также верно требование не допускать противоречий в рассуждениях, но символическая форма закона непротиворечия утверждает лишь о том, что отрицание конъюнкции высказывания и его отрицания истинно. Закон исключённого третьего вообще прямо не связан с принципами контроля рассуждения или, по крайней мере, связан с ними не больше, чем все остальные тождественно-истинные формулы, количество которых, кстати, бесконечно. К тому же этот закон признаётся только в неинтуиционисстских логиках, также как и связанный с ним закон двойного отрицания.

Давайте посмотрим, действительно ли перечисленные формулы являются законами в нашем понимании. Обычная трудность, с которой сталкиваются начинающие, привыкшие, наконец, строить огромные таблицы со многими переменными, это растерянность, что делать, если переменная одна. Да всё то же самое, сначала выписать эту единственную переменную левее формулы и проставить её значение, а переменная может быть либо истинной, либо ложной, и вычислить для этих значений искомую формулу. Приводим примеры подобных исчислений, сведённые в одну таблицу. В первом столбце воспроизведены возможные значения переменной. Во втором столбце результат находится под знаком эквивалентности. В третьем столбце результирующие значения находятся под вынесенным за скобки общим отрицанием результата конъюнкции. В четвёртом столбце результат находится под знаком дизъюнкции. В пятом (последнем) столбце оба отрицания относятся к первому р и меняют его значение, а результат находится под знаком эквивалентности.

 

 

Следует обратить внимание на то, что отдельно стоящая пропозициональная переменная может быть как истинной, так и ложной, и, следовательно, является выполнимой и собственно выполнимой формулой по нашему определению.

 

Количественные и качественные характеристики высказывания.

 

Как уже отмечалось для символизации количественной характеристики высказывания в современной логике используются знаки " для общих высказываний, $ для частных высказываний и $! для единичных. При этом, если предикат более чем одноместный, то в отношении каждой из переменных может быть произведено количественное уточнение, например: "p$qR(p,q). Читается: для всякого р существует q такое, что р и q связаны отношением R.

Работа с высказываниями отношений громоздка, разработана в основном для двухместных предикатов и в практике рассуждений непосредственно неприменима. Но о высказываниях существования необходимо сделать дополнительные уточнения по проблеме, можно ли существование рассматривать как предикат.

Допустим, что S – свойство существовать. Тогда утверждение, что объект x существует, запишем, как S(x), и будет читаться: x обладает свойством S или x существует. Запишем теперь то, что существует единственный объект x: $!S(x). Читается: существует единственный объект, который обладает свойством существовать. Если не обращать внимания на стиль, это можно принять. Но если нам необходимо записать утверждение, что не существует наш объект, то это будет выглядеть как: $!ùS(x). А читаться будет, что существует единственный x, который не существует. Налицо противоречие. Таким образом, существование не представимо как предикат в рамках логического рассмотрения, а значит проблема существования, как неотъемлемого свойства объекта, строго логически не может быть исследована.

Содержательную трудность представляет и рассмотрение качественной, модальной характеристики высказывания. В содержательной речи такие термины, как могу, должен, невозможно, возможно, запрещено, разрешено, необходимо, случайно и сходные обладают различным характером и по их функции в естественной речи, и в отношении их к логическим характеристикам высказываний, которые могут быть использованы для логического контроля рассуждения. Но на том уровне осмысления проблемы модальности, на котором мы пока находимся в настоящее время, вся эта разнородная группа, в которую включают также такие уточнения, как, например, вчера, сегодня, раньше, позже, одновременно, было, будет и иные рассматривается как обладающая некоторыми формальными характеристиками.

Модальные термины, во-первых, группируют тематически на алетические, деонтические, темпоральные, убеждений и иные типы характеристик. Внутри каждая из групп может также иметь подразделения. Так, например, объединённые в одну группу алетических модальностей характеристики: необходимо, случайно, невозможно, возможно, подразделяют на физические и логические. То есть что-то может быть физически невозможно, а что-то логически невозможно. Темпоральные характеристики подразделяют на абсолютные (было, есть, будет). И относительные (раньше, одновременно, позже). При этом мы можем использовать и иные способы обозначения, например: вчера, сегодня, завтра или какие-нибудь ещё.

Во-вторых, в каждой из этих групп выделяют: сильную положительную (символ ÿ), сильную отрицательную (символ kà), слабую (символ ê) и дополнительную характеристику (символ à). У темпоральных модальностей дополнительная характеристика отсутствует, и их вообще следует, по-видимому, выделить в отдельную область, так как они не подчиняются общим для других модальностей закономерностям. Так отрицание сильной положительной модальности переводит её в слабую (не необходимо в случайно). Хотя это и не бесспорно (особенно для деонтической модальности, где не безразлично может быть понято и как разрешено, и  как запрещено, в то время как не случайно однозначно значит необходимо). Что не происходит с темпоральными (не было или не раньше не превращаются в соответствующие есть или одновременно). А перевод отрицанием сильной отрицательной характеристики в дополнительную (невозможно в возможно) и наоборот невозможен за отсутствием последней у темпоральных модальностей. В виде таблицы всё это может быть изображено следующим образом:

 

Символ	Характеристика модальности	Алетическая модальность	Деонтическая модальность	Темпоральная модальность
ÿ	Сильная положительная характеристика	Необходимо	Обязательно	Было (раньше)
ê	Слабая характеристика	Случайно	Безразлично	Есть (одновременно)
ùà	Сильная отрицательная характеристика	Невозможно	Запрещено	Будет (позже)
à	Дополнительная характеристика	Возможно	Разрешено

 

Существуют многочисленные попытки построения исчислений, учитывающих модальные характеристики высказываний, представляющие значительный интерес, для осмысления этого параметра. Например, на языке логики высказываний мы можем произвести запись kрºk(ÿрÚêр), а затем её проанализировать содержательными или формально логическими средствами.

Но громоздкость модальных систем исчисления и те проблемы, которые возникают при содержательном исследовании их, затрудняют и даже делают невозможным их использование на практике, где в этом отношении предпочтителен содержательный анализ рассуждения и сведение его результата к ассерторическим высказываниям, а затем демонстрации их логической состоятельности. В большинстве практических проблем мы можем просто обсудить ту дополнительную информацию, которую привносит с собой модальная характеристика.

 

Тема 5. Преобразование высказываний.

 

В других учебниках логики эта тема и проблема обычно называлась умозаключение, в предположении, что излагаемое и изучаемое в этом разделе, связано с нашей интеллектуальной деятельность и иллюстрирует её средствами, принятыми в логике. Но мы уже говорили о том, что мышление и в том числе процесс принятия решений внелогичны, и даже не все результаты мышления выражаются в речи, а то, что выражается, далеко не всегда способно быть подвергнуто логическому анализу. Преобразование высказываний воспринималось в традиционной логике, как аналог процесса мышления, или даже как само проявление мышления, и в таком виде некритично стало использоваться в современной логике, перегруженной математическими методами, что ещё сильнее запутывает картину природы логической области.

 

Как и в предыдущих темах, мы будем исходить из того, что мы в логике подвергаем исследованию и контролю результаты осмысления, оформленные речью, обработанную символизацией речь, а также используем для этого адекватные математические средства, которые также в случае необходимости подвергаем логическому исследованию и контролю.

Революционные изменения, произошедшие в логике во второй половине 19-го и начале 20-го века, были в первую очередь связаны как раз с использованием математических средств и представлений при обсуждении логических проблем. В ракурсе анализа преобразования высказываний следует отметить использование для этих целей аксиоматизации (распространенного в то время средства организации математического аппарата), инструментария исчислений и метаматематических исследований средствами самой математики.

Аксиоматический метод, будучи исторически первым, повлиял на осмысление преобразований высказываний, но не вскрыл их природу, создав только иллюзию этого, сведя понимание природы логики к умению исчислять, оперировать математическими представлениями и подвергать анализу средствами математического доказательства металогические и метаматематические проблемы, связанные с процедурами исчислений. К тому же специфические приёмы исчислений в аксиоматике далеки от практики обыденного рассуждения, например, в области применения права или рутинной практики научной аргументации и полемики. Эти приёмы настолько специфичны, что ими владеют далеко не все выпускники мехмата, а только специализирующиеся в этой области. Знакомство с ними обязательно для интересующихся проблемой обоснованности инструментария исчислений и программистов, занимающихся адаптацией логических исчислений для их использования в компьютерах. Но для абсолютного большинства тех, кому логика необходима как система практических навыков, мы ограничимся лишь небольшой демонстрацией исчислений в аксиоматике.

Почти то же самое можно сказать и в отношении металогических исследований, которые постараемся заменить содержательными, более понятными и более адекватными проблеме рассуждениями. Исключение для интересующихся мы сделаем только теореме о дедукции. Так как эта теорема важна для понимания приёма перехода от доказательства формулы к её выводу из посылок. Но перенесём её в приложение, а в основном тексте заменим её рассуждениями содержательного характера.

В различных пособиях преобразования высказываний также называются, кроме упоминавшегося термина умозаключение, рассуждениями, дедукцией или иными терминами, например, используются термины вывод или доказательство, но последние два термина при использовании современных средств исчислений приобретают специальный смысл, который мы проясним в соответствующем месте. Собственно термины дедуктивная логика и рассуждение также отличаются от термина преобразование и друг от друга. Например, термин дедуктивная логика является скорее наименованием учения о дедуктивных преобразованиях, тогда как термин дедуктивные преобразования обозначает сами эти преобразования и описание их технологии. Хотя эти значения и близки, но дедуктивной логикой, о которой и будет идти речь в этой теме, можно назвать учение о дедуктивных преобразованиях включающее также необходимый материал тем термин и высказывание. Дедуктивными рассуждениями скорее можно назвать все рассуждения этого типа, включая как преобразования в символической форме, так и содержательные рассуждения, так осмысляемые. Если кому-то последние два абзаца показались не очень понятными и не очень убедительными, то он может безболезненно их опустить и потренироваться рассуждать на эту тему самостоятельно после изучения курса логики.

Многие специалисты, особенно в математической логике, только дедуктивные рассуждения считают полноценными логическими конструкциями. А индуктивные рассуждения и особенно рассуждения по аналогии иногда даже выводят вообще из рассмотрения. Причинами этого являются не абсолютно достоверный характер результатов вывода в этих типах рассуждений, отсутствие средств преобразований, неприменимость математических, формальных и строгих средств для анализа и контроля рассуждений этого типа. Как мы попытаемся показать, индуктивные рассуждения и рассуждения по аналогии действительно имеют несколько иной характер и являются продуктом осмысления более архаичных средств убедительной аргументации. Но так, как в отношении этих рассуждений сформировались содержательные средства и требования, позволяющие в ограниченном виде их анализ и контроль, то мы их рассмотрим как область, на которую логическое учение распространяет своё влияние.

 

Приведём примеры того, что в логике принято рассматривать как дедуктивные рассуждения. Классический пример:

Все люди смертны. Сократ человек. Следовательно: Сократ смертен.

Или: все люди смертны, значит, ни один человек не бессмертен.

Ещё один пример. Если будет хорошая погода, то мы поедем за город. Погода сегодня хорошая. Значит, мы едем за город.

Для анализа и контроля первых двух рассуждений необходима символизация их, вскрывающая внутреннюю структуру составляющих рассуждение высказываний (в зависимости от выбранного языка: термин, предикат, квантор; или субъект, предикат, связка, квантифицирующее слово). Для анализа третьей конструкции необходимо и достаточно исследовать только взаимоотношение между отдельными высказываниями, не выявляя их внутреннюю структуру.

В связи с отличием уровня анализа различают логику высказываний или пропозициональную логику, занимающуюся исследованием преобразований высказываний, не углубляясь в их внутреннюю структуру, и логику предикатов, где для анализа процедур преобразований мы не мажем игнорировать внутреннюю организацию высказываний. Естественно, что мы по указанным выше причинам ограничимся не модальными, то есть ассерторическими высказываниями.

Отметим также различие между традиционной и современной логикой и между логикой классической и неклассической.

1) Современная, искушённая математическими средствами анализа, логика, в отличие от традиционной, использует символику идущую от установок Фреге-Рассела, тогда как традиционная или не пользуется символикой, или для логики предикатов использует субъектно-предикатный язык символов, отталкиваясь от установок Аристотеля.

2) Современная логика пользуется представлением о пустом содержании высказывания или термина, тогда как традиционная не допускает пустоты содержания для используемых ею символов. В целом отличия современной логики от традиционной, описанные в первых двух пунктах, связаны с особенностями отношения к языку, который используется для экспликации содержательных рассуждений. А, в связи с этим, и с различным пониманием выявления речью контролируемых параметров рассуждения.

3) Отличие между современной и традиционной логикой связано также с доминирующими тенденциями при осмыслении термина истина, чему мы посвятили достаточно места в начале темы высказывание. Поэтому повторять не будем. Следует лишь ещё раз обратить внимание на важность именно явных формулировок и их ассимиляцию хотя бы специалистами, без чего те или иные взгляды для знаний подобного уровня не прививаются.

4) Хотя при философско-методологическом анализе природы рассуждения и традиционная логика, и современная иногда прибегает к ассоциациям с отношениями в предметно вещной среде, а некоторые разделы, например, операции с объёмами иначе не могут быть поняты и изложены, в практике преобразований современная логика всё же стремиться перейти к иным способам обоснования. И непоследовательность в этой области, это скорее беда современной логики, чем её вина. Причина этой непоследовательности скорее лежит в трудностях работы с контингентом занимающихся, превращающихся, так или иначе, в специалистов, но которые и до знакомства с логикой, и во время знакомства, и, что самое огорчительное, и после знакомства с нею, так и не способны довериться логике, как арифметике. А каждый раз делают попытки пересчитать предметы вместо того, чтобы посчитать в уме. Или, если расчёты велики, на бумаге. А, в случае, если они уж очень велики, и делать это нужно часто, поручить эти расчёты программируемым устройствам.

Возможно, что различия между логиками современной и традиционной к перечисленному не сводятся. И современная и традиционная логики проходили определённые этапы своего развития, и на каждом этапе существовало множество несовместимых подходов при решении и осмыслении логических проблем у различных авторов и школ. Мы акцентируем внимание только на том, что нам понадобится для осмысления и овладения приёмами логического контроля.

Классическая логика от не классической отличается также по нескольким параметрам.

1) Во-первых, обычно обращают внимание, что классическая логика является моделью класса обыденных рассуждений. Но мы уточним, что в период господства традиционной логики, да и то с некоторыми оговорками. Во всяком случае, после появления квантовой механики и интуиционистской математики появляются логические системы, приспособленные для контроля рассуждений в этих областях, где применение классической логики невозможно. После появления подобных логических систем становится понятно, что и в обыденном рассуждении всё отнюдь не так классично, как кому-то хотелось бы.

2) Во-вторых, как раз с появлением новых непривычных областей применения логики, разрушается привычная для классической логики установка двузначности истинностных значений высказываний. Двузначность высказываний в классической логике является результатом отождествления истинностной характеристики высказывания с особенностями коллективного признания, согласия или несогласия с какими-либо содержательными текстами и их полноценными фрагментами. После появления более чем двухзначных логик содержательная нагрузка истинностной характеристики высказывания ослабевает, она часто превращается в просто маркированную дополнительную характеристику высказывания, замещаемую иными символами, в том числе и нумерацией. В связи с этим и возникает проблема осмысления, что же такое истина, изложенная нами ранее, где мы различали исходное, содержательное использование этого термина с одной стороны, и его формально логическое применение с другой. Классическое применение термина истина не утрачивает своего значения и сейчас в ситуациях санкционирования действий на основе решений, принятых при исследовании результатов речевой деятельности. Например, судебных решений, военных стратегических и тактических решений, решений в области научной деятельности и в технологиях, связанных с риском для жизни, в ответственных ситуациях управления коллективом и тому подобных в случае, если мы подвергаем логическому контролю результаты рассуждений, на основе которых были приняты решения. И этим понимание истины в классической логике отличается от прямого коллективного согласия со сказанным.

3) В-третьих, классической логике обычно приписывается допущение о принципиальной разрешимости любой проблемы. Хотя это скорее рецидив традиционных установок в ситуациях применения классической установки двузначности. В подобных ситуациях предполагается ответственность принимающих решение. В случае неудачи предполагается возможность поиска вины за недомыслие или хотя бы поиск ошибки в рассуждениях, приведших к отрицательным последствиям. С появлением в многозначных логиках представления о неопределённости истинностного значения высказывания и с переосмыслением природы логики и её применения в неклассической логике признаётся неразрешимость некоторых логических проблем.

4) В-четвёртых, в классической логике и в исчислениях, и в представлениях о природе логического следования условная связь между высказываниями в предметном языке исчисления и посылками в теории логического следования в металогических исследованиях отождествляется с материальной импликацией, свойства которой мы уже знаем из табличного определения её, исследованного нами в предыдущей теме. В связи с парадоксами, к которым ведёт известное нам понимание материальной импликации, делаются попытки в некоторых системах неклассической логики добавить к известному пониманию импликации характеристики, которые обеспечили бы устранение этих парадоксов. Но в металогических исследованиях на уровне максимальных обобщений проблемы нам, по-видимому, всё же лучше пользоваться содержательным анализом логического следования, так как оно не в полной мере оказывается способным быть формализованным, как показывают трудности этого подхода, и как мы пытаемся продемонстрировать в нашей работе.

 

Логика высказываний.

 

Аксиоматическое построение классических преобразований высказываний.

 

Мы уже отмечали, что первой формой построений исчислений высказываний в современной логике были аксиоматические системы. В таких системах аксиомы представляют собой способ определения логических констант, которые в свою очередь являются символами, обозначающими операции с пропозициональными переменными. В общем виде интерпретировать пропозициональные переменные можно различным образом, так как аксиоматически заданная операциональная система является просто одной из разновидностей алгебраических систем. Исторически и по замыслу такие системы строились как аналоги традиционных логических построений, иначе смысл их использования для моделирования логических проблем был бы сомнителен. Поэтому пропозициональные переменные интерпретируются здесь как символы высказываний, что соответствует лингвистическому смыслу термина пропозициональная переменная.

Такое использование символов можно проиллюстрировать примерами из школьной математики. В школьной алгебре мы используем символы переменных, не задаваясь вопросом, какое число они обозначают (или какую цифру замещают, что в данном контексте то же самое). А в арифметике, производя вычисления нам безразлично, что мы вычисляем: количество карандашей, лошадей или что-нибудь ещё. Для справедливости отметим, что существуют аксиоматические способы задания и алгебраических (имеется в виду школьная алгебра, интерпретируемая на множестве чисел) и арифметических операций и процедур.

Существует множество различных способов аксиоматического построения классической логики высказываний. Различные системы отличаются и выбором аксиом при тех же логических переменных и константах, и варианты с различным ограничением в выборе переменных, констант и количества аксиом. Существуют экстравагантные системы с дополнительными условиями, например, условием минимизации количества аксиом, констант, переменных или каких-то их сочетаний.

Всё это на наш взгляд является темой иного пособия посвященного математическим методам логики (или тому, что получило название математической логики), где кроме указанного и вспомогательного материала также рассматриваются исследуемые строгими математическими методами проблемы непротиворечивости подобных систем, их полноты, непополнимости и разрешимости, а также многие дополнительные их свойства.

Мы же здесь приведём пример решения задачи в аксиоматической системе, причём для простоты приведём только те аксиомы, которые нам понадобятся в ходе исчисления. На наш взгляд того, что мы сообщим, более чем достаточно, чтобы обнаружить все недостатки подобных методов для прикладного использования.

Итак попробуем доказать, что формула рÉр является тождественно истинной, а значит и доказуемой из тождественно истинных аксиом по выдерживающим логическую критику правилам. Точнее её тождественно-истинность будет по правилам подобных преобразований доказана, если её удастся получить из наших аксиом по не вызывающим сомнений правилам. То, что доказываемая формула, как и используемые нами аксиомы, являются тождественно истинными формулами, мы предлагаем проверить самостоятельно с помощью таблиц.

Необходимые аксиомы мы задаём в метаязыковых терминах, которые можно заменить любым простым или сложным высказыванием, записанным символами. Кроме этой замены, называемой правилом подстановки, мы также будем пользоваться правилом, смысл которого понятен из особенностей табличного значения материальной импликации. Если выражение АÉВ истинно, то если А истинно, то В должно быть также истинно. В ином случае выражение АÉВ не могло бы быть истинным, так как имеется только единственная возможность, обеспечиваемая табличным определением импликации, чтобы при истинном А сохранить истинность всей строки – необходимо принять истинность В. Приём этот со времён традиционной логики получил название modus ponens, так как в традиционной логике он был разновидностью (отсюда термин модус) силлогистики.

Для доказательства нам понадобятся две аксиомы:

АÉ(ВÉА)                                   – закон утверждения антецедента;

(АÉВ)É((АÉ(ВÉС))É(АÉС))  – закон самодистрибутивности                                                 

                                                      импликации.

Процедура доказательства будет построена как последовательная нумерованная запись, где в каждой строке мы имеем право записать тождественно истинную формулу. Такая формула может представлять собой либо одну из исходных аксиом, либо формулу, полученную по обеспечивающим тождественную истинность формулы правилам, либо формулу, полученную по этим правилам в ходе данного или иного строгого доказательства.

Подставим во вторую нашу аксиому вместо А – р, при этом С будем отождествлять с А (А эквивалентно С), а вместо В подставим рÉр. Получим:

1.(рÉ(рÉр)) É((рÉ((рÉр) Éр)) É(рÉр)).

Затем выпишем первую аксиому с подстановкой р и вместо А и вместо В.

2.(рÉ(рÉр)).

По modus ponens получим:

3.((рÉ((рÉр) Éр)) É(рÉр)).

В следующей строке опять выпишем первую аксиому, но уже с подстановками р вместо А и (рÉр) вместо В.

4.(рÉ((рÉр) Éр)).

Тогда в следующей строке по правилу modus ponens можем записать (строки 3 и 4):

5.(рÉр).

Если наши исходные аксиомы были тождественно истинными формулами (вы это должны были проверить с помощью таблиц), а наши правила преобразований обеспечили сохранение тождественной истинности у вновь образуемых формул, то полученная в пятой строке формула является тождественно истинной. Опять же перепроверьте это с помощью таблицы, если до сих пор это не сделали. Но в принципе наше исчисление должно обеспечивать и правильность результата, и его контроль.

В громоздкости и неудобстве этого метода читателя убеждать, скорее всего, не придётся. Но в сложных расчётах в случае необходимости всю работу можно поручить технике. Задачи подобного типа, а такие задачи возникают, например, при расчёте электрических цепей, в том числе и для нужд вычислительной техники, можно алгоритмизировать и создать программное обеспечение для компьютера или воплотить схему решения технически иным образом. Проще всего задать сначала процесс сочинения новых тождественно истинных формул, а затем на основе технического решения этой задачи решать остальные.

 

Натуральное построение классической логики высказываний.

 

Если ход рассуждений в предыдущем разделе вам удалось проследить и понять, то дальнейшие рассуждения должны стать понятны в процессе их изложения и в отношении техники процедур, и в отношении цели, ради которой создавался аппарат натурального исчисления. Цель эта – приблизить технику преобразований высказываний к привычным и удобным способам решения задач, сделать работу в этой области более естественной и органичной, что собственно и отразилось в термине натуральное.

Допустим, что в первой строке наших преобразований записана тождественно истинная формула. Такой формулой может быть известный нам закон логики, ранее доказанная тождественно истинная формула или мы удостоверяемся в этом построив для формулы таблицу значений. Такой формулой может быть и простое высказывание, о котором нам заведомо известно, что оно истинно по условиям нашей задачи, например это, обозначаемое пропозициональной переменной, предложение может быть эмпирически подтверждаемым фактом или формулировкой научного закона. Обозначим эту формулу метасимволом А.

1.А

Тогда во второй строке мы можем, например, записать:

2.АÚВ

В – это какое-то другое высказывание, истинность которого нам неизвестна. Но дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из высказываний, объединённых этой связкой, истинно. Поэтому требование, записывать в строках преобразования только истинные формулы, аналогично тому, как мы это делали в аксиоматике, будет выполнено.

К новой формуле в новой строке в любом месте наших дальнейших преобразований мы можем добавлять дизъюнктивно какие-либо другие формулы. Но можем, в случае, если мы знаем, что наша формула С истинна (допустим, что это формула рÉр), добавить в какой-либо строке n выражение: n.(рÉр)&(АÚВ), так как конъюнкция двух истинных высказываний истинна. Мы также можем, зная, что А&С истинно, и зная, что истинно А (оно должно быть записано в какой-либо предшествующей строке наших преобразований), записать в строке n+m высказывание С, так как конъюнкция высказываний истинна только в случае, если истинны оба объединённых конъюнкцией высказывания.

Зная свойства таблиц истинности известных нам связок, мы могли бы продолжить наши рассуждения в отношении этих связок, но так как принципиально проблема понятна, мы рассмотрим последовательно важнейшие принятые в натуральном исчислении высказываний правила присоединения новых строк. Их для удобства делят на правила введения и правила удаления той или иной логической константы. Существуют различные системы, предлагающие наборы таких правил и правил доказательства. Обычно в подобных системах стараются минимизировать количество правил присоединения новых строк и этим приблизить их к строгим математическим доказательствам, как, например, в аксиоматическом построении логики высказываний. Но мы, чтобы не усложнять себе жизнь, игнорируя формалистический пуританизм, сразу введём правила для всех констант, насколько нам позволяет наше знание таблиц истинности для логических констант. Правила задаются в метасимволах, где вместо любого символа может стоять простое или сложное высказывание.

 

 

Важнейшие правила присоединения новых строк преобразования.

 

1.Удаление конъюнкции: А&В ; А&В .

                                          А         В         

Если на какой-либо из строк наших преобразований стоит конъюнкция высказываний, то на любой из последующих строк мы в качестве истинного высказывания можем выписать любое из составляющих конъюнкцию высказываний.

2.Введение конъюнкции: А,В .

                                      А&В

Если на какой-либо строке наших преобразований стоит высказывание А, а на какой-либо ещё высказывание В, то на любой последующей строке мы можем записать конъюнкцию этих высказываний.

3.Удаление дизъюнкции: АÚВ,ùА ; АÚВ,ùВ .

                                          В              А 

Если на какой-либо из строк нашего преобразования стоит дизъюнкция высказываний, а на какой-либо ещё строке отрицание одного из составляющих дизъюнкцию высказываний (но только одного, иначе это приведёт к противоречию), то на любой из последующих строк мы можем записать другое присутствовавшее в дизъюнкции высказывание.

4.Введение дизъюнкции:  А   ;   А  .

                                      АÚВ  ВÚА

Если на какой-либо из строк нашего преобразования стоит высказывание, то мы на любой из последующих строк можем записать дизъюнктивную связь этого высказывания с любым другим, причём порядок дизъюнктивно связанных высказываний не важен.

5.Удаление строгой дизъюнкции: АxВ,А ; АxВ,В ; АxВ,ùА ; АxВ,ùВ .

                                                       ùВ          ùА         В             А      

Если на какой-либо из строк нашего преобразования высказываний стоит строгая дизъюнкция высказываний, а на какой-либо ещё из строк стоит один из членов строгой дизъюнкции, то на любой из следующих строк преобразования мы можем записать другой член строгой дизъюнкции со знаком противоположным знаку имевшегося свободно стоявшего члена дизъюнкции.

Обычно это правило, как и следующее правило введения строгой дизъюнкции, а также правила удаления и введения отрицания доказывают в натуральной системе, но мы ввели их сразу, а желающие могут, сделав вид, что их нет, попробовать доказать их самостоятельно. Следует только учесть по отношению ко всем правилам, что метасимвол замещает любое высказывание, в том числе и такое, у которого перед высказыванием стоит знак отрицания, который в нашем случае для правила удаления строгой дизъюнкции, как и во всех остальных случаях, не следует смешивать со знаком отрицания перед метасимволом.

6.Введение строгой дизъюнкции: А,В  ;   А,В  ;   А,В  ;   А,В .

                                                  АxùВ    ùВxА   ВxùА   ùАxВ

Если на какой-либо строке нашего преобразования имеется высказывание А, а на какой-либо другой высказывание В, то в качестве новой строки преобразования мы можем добавить строгую дизъюнкцию наших высказываний, причём их порядок значения не имеет, но одно (и только одно) из них обязательно должно стоять со знаком отрицания.

7.Удаление эквивалентности:      АºВ         .

                                               АÉВ,ВÉА

Если на какой-либо из строк нашего преобразования имеется высказывание АºВ, то на любой из последующих строк мы можем записать АÉВ или, если нам это нужно, ВÉА. Мы можем с помощью таблицы убедиться в тождественной истинности высказывания (АºВ)º((АÉВ)&(ВÉА)). То есть, если А эквивалентно В, то из А следует В и из В следует А (в предметном языке мы заменяем слово следует импликацией). Правда, мы с помощью таблицы показываем лишь сходство результирующих столбцов для АºВ и для (АÉВ)&(ВÉА). Но по правилу удаления конъюнкции мы можем утверждать, что и формулы АÉВ и ВÉА в нашем случае также являются тождественно истинными. В этом можно убедиться и просто сообразив, что при эквивалентности А и В они будут следовать друг из друга.

Заодно обратите внимание, что по правилу введения конъюнкции наличие высказываний на любых строках нашего преобразования позволяет их соединить конъюнкцией на последующих строках. С другой стороны, запись через запятую над или под чертой в записи правил является обозначением наличия данных высказываний в строках нашего преобразования. А значит, такие высказывания можно записывать через конъюнкцию, или, иначе, запятая и конъюнкция в данном случае будут аналогами друг друга. Обратите также внимание на то, что запись через запятую можно заменить записью одно высказывание под другим (и наоборот), что поможет легче осмыслить эту проблему: запись А,В эквивалентна записи А.

                                 В

Заодно осмыслим и то, что черта в нашей записи аналогична метаязыковому термину следует, тогда, как символ импликации, заменяет термин следует в предметном языке исчисления.

8.Введение эквивалентности: АÉВ,ВÉА .

                                                  АºВ

Если на какой-либо из строк нашего преобразования стоит высказывание АÉВ, а на какой-либо ещё строке высказывание ВÉА, то на любой из последующих строк мы можем записать высказывание АºВ. всё необходимое для понимания этого мы только что воспроизвели в предыдущем пункте осмысления правила удаления эквивалентности.

9.Удаление отрицания: ùùА .

                                      А

Если на какой-либо из строк нашего преобразования имеется двойное отрицание высказывания, то на любой из последующих строк мы можем записать высказывание без этих отрицаний. Это правило верно только в классической логике и не является верным для логики интуиционистской. Следует обратить внимание, что в классической логике это правили можно доказать, но только косвенным методом.

10.Введение отрицания:  А  .

                                      ùùА

Если на какой-либо из строк стоит высказывание, то на любой последующей строке мы можем записать его двойное отрицание. По отношению к этому правилу действительно всё, что мы говорили по отношению к удалению отрицания.

11.Удаление импликации: АÉВ,А .

                                            В

Если на какой-либо из строк нашего преобразования стоит импликация, а на какой-либо ещё её антецедент, то на любой из последующих строк мы можем записать её консеквент.

Это правила обычно, в связи с его использованием в традиционной логике, выделяют и называют правилом отделения или, как мы уже отмечали, modus ponens (кратко m.p.). Но мы решили не менять принцип организации правил и не увеличивать количество необоснованных вопросов, на которые неизвестно как отвечать, так как непонятно, зачем собственно при нашем подходе выделять это правило.

Правило введения импликации мы вводить не будем, так как оно является частным случаем введения эквивалентности.

 

Правила доказательства. Прямое доказательство.

 

Такой способ преобразования высказываний, как мы его задали правилами присоединения новых строк, не преследует никаких целей и не обязывает нас стремиться к получению на какой-либо из строк преобразования той или иной формулы. Но задачу можно переформулировать и попытаться доказать с помощью правил присоединения новых строк конкретную формулу. Для этого мы должны целенаправленно строить наше преобразование так, чтобы формула, в отношении которой доказывается её тождественно-истинность (или, то же самое, что она является законом логики) стала одной из строк нашего преобразования, после чего эти преобразования можно остановить.

Несмотря на то, что доказательства в натуральных преобразованиях значительно проще, чем в аксиоматическом построении, они всё же оказываются слишком трудными для гуманитарно-ориентированных специалистов. И если умение работать в натуральной системе безусловно необходимо выпускникам философского факультета, так как без этих навыков невозможно обсуждать многие вопросы, в частности проблему природы логических знаний и навыков, имеющую отношение к проблеме основного вопроса философии, то для юристов, филологов и иных специалистов необходимо хотя бы ознакомление с этими процедурами. Так как в ином случае непонятно как продемонстрировать им убедительность логических процедур на современном уровне их овладения.

Доказательство в натуральной системе подразделяют на прямое доказательство и косвенное доказательство. Познакомимся сначала с прямым доказательством. Как мы уже отмечали, доказательство считается оконченным, если на одной из строк имеется доказываемое выражение. На любой из строк доказательства мы имеем право выписывать известные нам законы логики или ранее доказанные средствами нашего натурального исчисления формулы, которые, собственно говоря, также являются законами логики, но в связи со способом их доказательства называют теоремами. К доказательству, естественно, можно присоединять новые строки по правилам присоединения новых строк пока мы не получим искомое выражение.

Обращаем внимание на то, что доказательство от преобразования в натуральной системе отличается только постановкой вопроса, который мы решаем: двигаемся ли мы без особой цели по правилам преобразования или целенаправленно обосновываем логическую состоятельность определённой формулы.

Доказательство формул, не содержащих в себе в качестве главного знака импликацию, при отсутствии каких-либо ранее доказанных формул в большинстве случаев проблематично. Поэтому рассмотрим сначала доказательство выражений содержащих импликацию в качестве главного знака, где доказательство формулы можно свести к её выводу из посылок.

 

Сведение доказательства к выводу из посылок.

 

Свести доказательство к выводу из посылок можно только для сложных высказываний, содержащих импликацию в качестве главного знака. Будьте внимательны, если похожее выражение заключено в скобки и перед ним стоит знак отрицания, то главным знаком является отрицание.

Перед тем, как исследовать эту проблему, скажем, что вывод от доказательства отличается тем, что вывод осуществляется из посылок, которые нам разрешается выписывать в качестве выражений на строках наших преобразований. Посылки необязательно являются тождественно истинными формулами. Их истинность может обеспечиваться иными причинами, например, по условию задачи не может быть ситуации, при которой высказывание, выступающее в качестве посылки, может быть ложным. Это могут быть и эмпирические причины, и то, что высказывание является общепризнанным научным законом, и в том случае, если это сложное высказывание и невозможен такой набор переменных, при котором оно становится ложным. В отличие от вывода доказательство осуществляется из пустого множества посылок.

Обоснованием для возможности сведения доказательства высказывания, содержащего импликацию в качестве главного знака, к выводу из посылок является теорема дедукции. Но из-за её сложности и необходимости использовать при её доказательстве знание полной математической индукции, которую ещё не обсуждали, мы приведём эту метатеорему в приложении, а пока ограничимся содержательными рассуждениями.

Обратим внимание на то, что в качестве высказывания, внешний вид которого удобен для преобразования его доказательства в вывод из посылок, является высказывание вида:

(А₁É(А₂É(А₃É…É (А_n-1ÉА_n)…)))

Именно высказывание такого вида можно разбить на посылки: А₁,А₂,…,А_n-1. А затем стремиться получить в качестве последней строки преобразований самый последний консеквент Аn. Если мы возьмём выражение вида:

((((А₁ÉА₂) ÉА₃)É…ÉА_n-1)ÉА_n),

то посылкой нам придётся взять выражение (((А₁ÉА₂)ÉА₃)É…ÉА_n-1), так как главным здесь является последний знак импликации, и это большого облегчения нам не даст. Кстати, перед доказательством той или иной формулы не поленитесь проверить, является ли она законом логики по таблицам, иначе можно впустую потратить время, силы и нервы.

Теперь посмотрим, почему у нас есть право так поступать с формулами известного вида. Допустим, что наша формула имеет вид А₁ÉА₂. Но мы помним, что именно знаком импликации мы договорились замещать в предметном языке исчисления отношение следования одного высказывания из другого. Если бы на предыдущей строке преобразований стояло выражение А₁, а на какой-либо последующей выражение А₂, то мы также могли бы сказать, что выражение А₁ следует из выражения А₂. Разница здесь, собственно говоря, лишь в способе записи, правда и в связанном с этим способе подхода к рассмотрению отношения следования. В одном случае мы имеем дело с формулой, а в другом с процессом преобразования формул.

Обычно логиков не смущало, что они из того, что одна формула порождала в процессе преобразования другую, переходили к импликативному их соединению. Надежда при металогическом строгом исследовании процесса преобразования ввести иное понимание следования, лишённое недостатков материальной импликации, заставляла их не доверять интуитивно очевидной возможности сделать и обратное, перейти от импликативного соединения высказываний к представлению о следовании консеквента из антецедента. Но в классической логике, в рамках которой мы строим сейчас наши рассуждения и которую исследуем, мы и отношение следования понимаем классически, то есть как аналог материальной импликации, а раз они, по сути, неотличимы, нас не должна смущать и обратная процедура. С точки зрения логического контроля безразлично отслеживаем ли мы правильность алгебраической формулы, процесс преобразований одних формул в другие, металогические исследования, выполненные в форме строгих доказательств, или содержательные рассуждения в естественном языке. Во всяком случае, желающие познакомиться со строгим обоснованием могут сделать это, заглянув в приложение.

Для выражения в общем виде: (А₁É(А₂É(А₃É…É(А_n-1ÉА_n)…))),– мы доказательство этого выражения можем перевести в вывод из посылки А₁ высказывания (А₂É(А₃É…É(А_n-1ÉА_n)…)), которое мы должны получить на последней строке наших преобразований. Но сама наша новая доказываемая формула содержит импликацию в качестве главного знака. А значит, мы можем её доказательство превратить в вывод консеквента (А₃É…É(А_n-1ÉА_n)…) из посылки А₂. То есть иными словами выписать в качестве посылки, кроме А₁, ещё и А₂. Наши рассуждения можно продолжить и в отношении остатка доказываемой формулы, и поэтому, раз этот остаток (или остатки) содержат в качестве главного знака импликацию, выписать все антецеденты в качестве посылок.

Приведём несколько примеров доказательства. (Сами проверьте с помощью таблиц, являются ли эти формулы доказуемыми).

Доказать, что рÉр.

1.р (допущение по теореме дедукции).

То есть мы в качестве посылки выписали антецедент. Но, собственно говоря, он совпадает с консеквентом, а значит требование правил доказательства выполнено. На одной из строк стоит последний, из имеющихся в доказываемой формуле, консеквент, и, значит, формула доказана и является тождественно истинной. (Всё-таки не поленитесь проверить это по таблице, и, если можете, в уме).

Доказать, что рÉ(qÉр).

1.р (допущение по теореме дедукции).

2.q (допущение по теореме дедукции).

Но, собственно говоря, второе допущение мы выписали лишь для того, чтобы выяснить, как выглядит последний консеквент, и обнаружить, что уже первое допущение совпадает с последним консеквентом, а значит формула доказана. (Проверьте с помощью таблицы).

Доказать, что (р&q) É(pÚq).

1.р&q (допущение по теореме дедукции).

2.р (удаление конъюнкции в строке 1.).

3.pÚq (введение дизъюнкции в строке 2.). И формула доказана, так как наше выражение совпадает с консеквентом.

 

Косвенное доказательство.

 

Косвенное доказательство можно применять только в не интуиционистских построениях, которыми мы обычно и пользуемся. Такое уточнение важно, так как возможность косвенного доказательства допускает возможность доказательства закона ùùрºр, не допускаемого в интуиционистских построениях. Косвенное доказательство также даёт возможность пользоваться в содержательных математических рассуждениях теоремами существования, не признаваемыми интуиционистами, давая возможность использовать их как вспомогательное средство и элиминировать (устранять) из доказательства в случае, если доказанное ранее или принятое без доказательства допущение о существовании ведёт к противоречию в ходе нашего рассуждения.

В косвенном доказательстве, называемом в средней школе также доказательством от противного, используется несколько приёмов, общей чертой которых является, во-первых, принятие некоторого допущения, произвольность принятия которого ограничивается содержательной задачей добиться, в конце концов, противоречия, позволяющего от утверждения нашего произвольного допущения, истинность которого сомнительна, перейти к утверждению отрицания нашего допущения, истинность которого нами считается доказанной, раз его прежняя форма, являвшаяся его отрицанием была ложна. И этот переход к отрицанию первоначального допущения является второй общей чертой косвенного доказательства, а заодно ещё одной демонстрацией неявного признания закона снятия двойного отрицания и связанного с ним закона исключённого третьего, которые выводимы друг из друга, если в системе преобразований признан один из них.

В косвенном доказательстве используются все правила прямого доказательства. Кроме этого, мы имеем право на какой-либо строке нашего доказательства записать допущение косвенного доказательства. Наиболее часто, в случае, если доказываемое выражение в качестве главного знака содержит импликацию, в качестве допущения косвенного доказательства удобно брать отрицание последнего консеквента. Получив при этом противоречие между какими-либо строками нашего преобразования, мы можем винить в этом наше допущение и тем самым утверждать  верность отрицания нашего допущения, а затем на следующей строке преобразования, сняв двойное отрицание, получить последний консеквент, на чём доказательство и закончится.

Если доказываемое выражение не имеет вида импликации, в качестве допущения косвенного доказательства часто принимают отрицание самого доказываемого выражения. Особенно это помогает, если перед выражением уже стоял знак отрицания и его можно снять по правилу снятия двойного отрицания, а затем, проведя возможные преобразования и, получив противоречие, записать отрицание нашего допущения, снять на следующей строке двойное отрицание и получить искомую доказываемую формулу.

Доказать ù(р&ùр).

1.ùù(р&ùр) – (допущение косвенного доказательства)

2. р&ùр – (удаление отрицания в строке 1.)

3. р – (удаление конъюнкции в строке 2.)

4.ùр – (удаление конъюнкции в строке 2., противоречие между строками 3. и 4.)

5.ùùù(р&ùр) – (отрицание допущения косвенного доказательства на строке 1.)

6.ù(р&ùр) – (удаление двойного отрицания в строке 5., совпадающее в реультате с доказываемой формулой).

Часто допущение косвенного доказательства ведёт не сразу к окончательному решению, а является промежуточным в преобразованиях. Но в любом случае практически это допущение облегчает решение задачи, так как когда допущений больше появляется больше возможностей для манипулирования в процессе решения.

 

Добавочное допущение, связываемое с помощью импликации.

 

В косвенном доказательстве мы рассмотрели ситуацию, когда добавочное допущение элиминируется благодаря тому, что приводит к противоречию. Есть ещё один способ, позволяющий вводить добавочные допущения, основанный на парадоксальном свойстве материальной импликации быть истинной, если антецедент ложен.

Суть этого способа в том, что мы вводим необходимое нам в процессе решения задачи добавочное допущение, совершаем при его участии преобразования, а затем записываем на одной из последующих строк выражение, в котором наше допущение является антецедентом, а полученная с его помощью формула – консеквентом. В случае если наше допущение, а мы этого не знаем в отношении выражения С, является истинной, то наши преобразования должны обеспечить истинность полученной с помощью допущения формулы В. И поэтому выражение СÉВ будет истинным. Если же допущение С ложно, то выражение СÉВ всё равно будет истинным, так как импликация всегда истинна при ложном антецеденте.

Доказать (рÉ(q&r)) É((pÉq)&(pÉr)).

1.(рÉ(q&r)) – (допущение по теореме дедукции)

2.p – (добавочное допущение)

3.q&r – (удаление импликации на основании строк 1. и 2.)

4.q – (удаление конъюнкции в строке 3.)

5.r – (удаление конъюнкции в строке 3.)

6.pÉq – (введение импликации на основании строк 2. и 4., связывающей добавочное допущение)

7.pÉr – (введение импликации на основании строк 2. и 5., связывающей добавочное допущение)

8.(pÉq)&(pÉr) – (введение конъюнкции к строкам 6.,7., и совпадение полученного выражения с консеквентом).

 

Взаимосвязь правил и тождественно истинных формул.

 

Мы уже обращали внимание на то, что запись в правиле преобразования, когда высказывания над или под чертой перечисляются через запятую, может быть преобразована в конъюнктивное объединение высказываний выше или ниже черты. И, наоборот, конъюнктивно объединённые высказывания можно записать как их перечисление через запятую. Такая возможность обеспечивается правилами введения и удаления конъюнкции. Перечисление высказываний через запятую равносильно их записи каждого в отдельности на строках преобразования высказываний. Таким образом, само преобразование может быть рассмотрено, как конъюнкция строк преобразования.

Горизонтальная черта в правилах преобразования обозначает следование того, что записано под чертой (заключения), из того, что записано над чертой (посылок). Но отношение следования мы в предметном языке отождествляем в классической логике с материальной импликацией. Таким образом, мы можем все наши правила записать в виде тождественно истинных формул, а тождественно истинные формулы содержащие знак импликации записать в виде правил преобразования, заодно конъюнктивно связанные высказывания записать в виде посылок через запятую. Всё это будет справедливо и в отношении доказанных формул, которые мы можем превращать в правила преобразования. Мы сразу оговорили, что в виде исходных правил преобразования мы ввели правила введения и удаления отрицания, которые на самом деле можно доказать и, поэтому, в исходных правилах записывать не обязательно. То же самое относится к строгой дизъюнкции, которую можно представить как антиэквивалентность и доказать формулу (pxq)ºù(pºq). При этом лучше сразу использовать правило удаления эквивалентности.

Собственно говоря, можно попробовать доказать четыре формулы, переставляя знак отрицания в левую часть и меняя местами скобки со строгой дизъюнкцией и эквивалентностью. Следует также учесть, что правила преобразования можно задать так, что преобразования будут производиться способом, каким мы привыкли совершать преобразования в школьной алгебре, раскрывая скобки, перенося те или иные выражения влево и вправо от главного знака формулы. Но для этого должны быть сформулированы правила таких преобразований, так как они будут отличаться от школьной алгебры и подчиняться другим закономерностям. В частности, как мы покажем чуть дальше, внесение знака отрицания в скобку с главным знаком конъюнкция или дизъюнкция будет вынуждать для сохранения истинности нового выражения изменять конъюнкцию на дизъюнкцию и наоборот.

 

Наиболее часто используемые на практике правила преобразования и тождественно истинные формулы.

 

Мы только что обратили внимание на то, правила преобразования и тождественно истинные формулы взаимосвязаны и превращаются друг в друга при необходимости, если главным знаком в формуле является импликация. Эквивалентность же легко сводится к конъюнкции импликаций, а конъюнкция удаляется.

    АºВ

АÉВ,ВÉА

Порядок записи высказываний под чертой не нормируется. Поэтому, да и по другим причинам, мы видим, что эквивалентность является симметричной связкой. (АºВ)º(ВºА). Некоторые законы, там, где это возможно, поэтому удобнее записывать с помощью эквивалентности.

Следует также помнить, что количество законов логики бесконечно. Мы не будем пытаться объять необъятное, а воспроизведём, во-первых, правила, на которые обращали внимание в традиционной логике (силлогизмы), и, во-вторых, воспроизведём законы де Моргана, как демонстрацию некоторых иных способов преобразования высказываний. Некоторые из воспроизводимых правил (формул) уже демонстрировались ранее. Вновь вводимые правила (формулы) следует доказать, что предлагается сделать читателю самостоятельно.

Условный силлогизм.

АÉВ,ВÉС

     АÉС

Условно-категорический силлогизм. Существует в двух разновидностях (модусах).

а) modus ponens (утверждающая разновидность)

АÉВ,А

    В

b) modus tollens (отрицающая разновидность)

АÉВ,ùВ

     ùА

Обратите внимание, что таких правил

АÉВ,В

    А

или

АÉВ,ùА

    ùВ

нет, и соответствующие им формулы не являются тождественно истинными. Проверьте это по таблицам.

Разделительно-категорический силлогизм. Также существует в двух модусах: для простой дизъюнкции и для строгой.

а) отрицающе утверждающий модус

АÚВ,ùА

      В

можно также в варианте

АÚВ,kВ

      А

b) утверждающе отрицающий модус

АxВ,А

     В

или

АxВ,В

    А

Условно разделительный силлогизм. Существует в четырёх модусах.

а) простая конструктивная дилемма

АÉВ

СÉВ

АÚС

 В

b) простая деструктивная дилемма

АÉВ

АÉС

ùВÚùС

 ùА

c) сложная конструктивная дилемма

АÉВ

CÉD

AÚС

BÚD

d) сложная деструктивная дилемма

АÉВ

CÉD

kBÚkD

ùAÚùС

Законы де Моргана. Обратите внимание на то, что при внесении знака отрицания в скобку (или вынесении из скобки) конъюнкция и дизъюнкция меняются местами. Проверьте истинность формул хотя бы по таблице.

ù(А&В)º(ùАÚùВ)

(ùА&ùВ)ºù(АÚВ)

ù(АÚВ)º(ùА&ùВ)

(ùАÚùВ)ºù(А&В)

 

Неклассическое и классическое расширение логики высказываний.

 

Мы можем строить модели преобразований и за пределами классических установок. Для этого к символам логики высказываний, правилам преобразования и правилам доказательства добавляют необходимые символы и правила в зависимости от задачи, которую мы перед собой ставим. Таким образом, мы можем построить различные системы модальных логик, системы с уточнённым пониманием отношения следования, системы с расширенным за пределы истина-ложь набором возможных значений высказываний (например, можно добавить значение неопределённо). Можно также и ограничить возможности классической логики высказываний, отказавшись, например, от знака отрицания или даже оставив лишь один знак - импликацию.

Но всё это требует систематического изложения в пособии по математической логике, где необходимо сообщить сведения для овладения навыками манипулирования с подобными образованьями. Мы вкратце остановимся только на попытках неклассического осмысления импликации и связанного с ней отношения следования. Под логическим следованием в классической логике понимают такой тип отношений между высказываниями, когда переход от истинных высказываний, называемых посылками, к высказыванию, называемому заключением, обеспечивает его истинность. Но такое понимание следования не согласуется с исторически сформировавшимся и желательным с содержательной точки зрения, хоть и не выполнимым, представлением о содержательной необходимой связи высказываний в рассуждении. Во-первых, истинное высказывание при классическом понимании импликации следует из любого высказывания. Мы это уже отмечали при исследовании табличного определения импликации. В символической форме этот неприятный для осмысления факт следования истинного высказывания из любого можно выразить формулой:

(pÉ(qÉp))

Во-вторых, что не менее неприятно и не согласуется с нашими ожиданиями при представлении о том, что такое необходимая связь высказываний, из ложного высказывания в классической логике следует всё, что угодно, как истинное высказывание, так и ложное. В символической форме это можно изобразить, например, так:

(ùpÉ(pÉq))

Эти две формулы получили название формальной записи парадоксов материальной импликации, понимаемой, как следование. Последнее уточнение важно, так как если мы не отождествляем материальную импликацию со следованием, то какая нам разница, как мы задали данную операцию. Нас могут в этом случае интересовать лишь операциональные алгебраические её свойства.

Если как следует поразмыслить, то, по-видимому, придется согласить с тем, что содержательная связь вообще формально невыразима. Хотя бы по определению, если другие доводы кажутся для человека, привыкшего рассуждать формально, неубедительными. Представление импликации в качестве заместителя отношения следования является формальной моделью этого отношения, позволяющее произвести формальный расчёт для контроля рассуждения, но отнюдь не обеспечивает замену осмысления и принятия решения формальным расчётом.

Но так как парадоксы материальной импликации вызывают возмущение уже не первое тысячелетие, были предприняты попытки это возмущение ослабить. Была предпринята попытка создать систему, в которой формулы, обсуждаемые нами, недоказуемы. Сначала Льюис предложил заменить материальную импликацию иной схожей связкой, обозначаемой p. Задаётся она операционально:

АpВ=Df ùà(a&ùb)

              ð(aÉb)

à - оператор возможности

ð - оператор необходимо.

На класс доказуемых формул также накладывается ограничение: если в выражении типа АpВ выражение В является сложным и также содержит знак p, то если в выражении А этот знак отсутствует, то формула является недоказуемой. Последнее ограничение не позволяет доказать формулы демонстрирующие парадоксы материальной импликации. Но зато позволяют доказать парадоксы, которым подвержена и новая импликация также, причём даже в более понятной форме:

((p&ùp)pq - из противоречия следует всё, что угодно;

(qp(pÚùp) - тождественно-истинная формула следует из всего, что угодно.

Для устранения этих недостатков Аккерман ввёл новую импликацию, обозначаемую символом ®. Определяется она системой аксиом, которые показывают, как ею оперировать. Кроме ограничения, имеющегося уже в импликации Льюиса, что если в сложном высказывании, представляющем консеквент, присутствует импликация, в данном случае импликация Аккермана, а в антецеденте импликации нет, то формула недоказуема, имеется ещё одно ограничение. Формулы, содержащие импликацию, являются доказуемыми только в том случае, если антецедент и консеквент этих формул имеет общие элементы. Поэтому здесь недоказуемы формулы ((p&ùp) ® q) и (q ® (pÚùp)). Правда, если речь идёт только о наличии хотя бы одного общего элемента, то вместо отдельно взятой переменной в этих формулах можно взять выполнимые формулы, в которых вместо переменной q стоит высказывание, в котором имеется ещё и переменная р. Но можно придумать формулы, в которых и слева и справа от знака импликации будут присутствовать одни и те же переменные. Вместо тождественно истинной формулы можно взять любую аксиому, состоящую из двух переменных, а вместо противоречия - её отрицание. А с выполнимой формулой из двух переменных проблем также не будет.

Говорить о том, что импликация Аккермана обеспечивает содержательную связь высказываний, по-видимому, невозможно хотя бы потому, что при этом нам придётся смешать два различных понимания следования, содержательное и формальное. Такое смешивание в логике считается ошибкой и называется подменой понятий. Пытаться доказать, что это одно и то же, можно только заранее предположив, что это одно и тоже, а эта ошибка называется круг в доказательстве, а более точно предвосхищение основания. Не останавливаясь уже подробно на том, что в случае, если бы нечто такое можно было бы доказать, было бы найдено место, где бытие, мышление и речь тождественны друг другу. Но поиск подобного места, по-видимому, является всё же делом мало вразумительным.

Для практических нужд наиболее важным расширением логики высказываний является её расширение до логики предикатов. Но подобное расширение, во-первых, выводит нас за пределы логики высказываний, так как мы на уровне языка исчисления начинаем интересоваться внутренней логической структурой предложения. И, поэтому, произведя такое расширение, мы тем самым перейдём одновременно и к новой теме – логике предикатов.

Во-вторых, следует отметить, что современная логика предикатов действительно является расширением логики высказываний, при этом в этом расширении сохраняются все требования и правила логики высказываний, но к ним добавляются ещё и иные правила, связанные с операциями с терминами, предикатами и кванторами.

Поэтому, в-третьих, работа с преобразованиями в логике предикатов, даже с классической логикой предикатов, а ещё ведь существуют модальные и иные её расширения, такая работа требует специальных навыков и в обыденной практике использоваться не может. Именно из-за этого в курсах логики приходится сохранять архаичные, но более удобные приёмы и связанные с ними представления традиционной логики, к которым мы и перейдём в следующем разделе.

 

Логика предикатов.

 

Мы только что отметили причины, по которым мы будем вынуждены знакомиться с традиционными представлениями в области логики предикатов. Напомним, что, во-первых, мы будет пользоваться субъектно-предикатным представлением о внутренней структуре высказывания. Во-вторых, мы будем считать, что высказывания всегда содержательны, даже тогда, когда будем работать с символическими обозначениями структуры высказываний, в которых полноценное содержание усмотреть непосредственно невозможно. Что, конечно, создаёт некоторые трудности для тех, кто не любит не лишённых противоречий утверждений. И именно это не в последнюю очередь видимо привело к созданию современных математизированных представлений, которыми мы, к сожалению, не можем пользоваться в быту пока они не адаптированы для работы с персональными компьютерами. Но, собственно, на эту несогласованность можно закрыть глаза, так как для нас предположение о содержательности имеет значение лишь в связи с тем, что эта содержательность предполагает не пустоту терминов, что является третьей особенностью этих представлений. Последствия этого допущения таковы, что некоторые правильные преобразования традиционной логики предикатов не являются правильными (не доказуемы) в современной логике предикатов, где класс терминов больше по объёму, так как включает и пустые термины. При подстановке пустого термина в некоторые силлогизмы или преобразования по логическому квадрату эти преобразования становятся не верными, что следует учитывать при использовании этих преобразований с целью логического контроля рассуждения. Мы постараемся продемонстрировать это в соответствующих местах нашего изложения. Зато все аналоги традиционных преобразований доказуемые в современной логике, доказуемы и в традиционной, с одним уточнением, именно аналоги, так как в современной логике предикатов можно доказать сложные суждения, не имеющие по сложности организации их аналогов в традиционной логике предикатов (например законы де Моргана на языке логики предикатов). У современной логики предикатов есть ещё преимущество, связанное с возможностью расширения её, как и в логике высказываний, что позволяет исследовать логические проблемы математическими методами, что выходит за пределы задач изложения, поставленных в данном пособии.

 

Преобразования в традиционной логике предикатов. Общая характеристика.

 

Мы будем заниматься преобразованиями в традиционной логике предикатов, основы которой заложены ещё Аристотелем, а затем обработаны в средневековой логике. Затем эти приёмы с некоторыми уточнениями излагаются в Новое время вплоть до появления современных способов моделирования преобразований высказываний математическими методами. В этот же период, начиная примерно со второй четверти 17-го века, постепенно формируется явное осмысление операций традиционной логики, как операций с объёмами дескриптивных терминов, составляющих высказывание, хотя и в более ранний период эти приёмы пусть и не в столь отработанной форме неявно использовались. Тем более, что в период создания логического учения в древней Греции, другого способа апелляции, кроме апелляции к опыту восприятия реальности и апелляции к усвоенным дискурсивно оформленным нормам, не было. При этом в средневековой логике, противореча этой тенденции, складываются представления о значимости структуры (формы) высказываний, как их внутренней субъектно-предикатной формы, так и форм связи в сложных суждениях, и создаются средства проверки правильности логической структуры, не связанные с непосредственной апелляцией к предметным отношениям.

Хотя уже Аристотель обращает внимание на некоторые особенности рассуждения, которые не вписываются в классические представления, но делает это он не в связи с созданием своей концепцией анализа рассуждения. И в дальнейшем преобразования в традиционной логике предикатов исследуются и развиваются в целом в классическом русле, то есть при предположении о существовании только двух истинностных характеристик высказывания истина и ложь и при представлении о связи высказываний в рассуждении, моделируемом аристотелевскими представлениями об импликации.

В традиционной логике различают непосредственные преобразования (в традиционной логике они называются непосредственными умозаключениями и понимаются как умозаключения, тем более, что предполагается, что мы имеем дело с содержательным процессом), и опосредованные преобразования (у Аристотеля и вслед за ним они называются простым категорическим силлогизмом). Рассмотрим их последовательно.

 

Непосредственные преобразования.

 

В традиционной логике различают собственно непосредственные преобразования (непосредственные умозаключения) и преобразования по логическому квадрату.

 

Собственно непосредственные преобразования.

 

Собственно непосредственные преобразования вообще удобнее рассматривать при использовании традиционного языка субъектно-предикатных символов для обозначения внутренней структуры простого высказывания. При использовании современного языка логики предикатов в превращениях, смысл которых станет ясен из последующего изложения, отрицание переносится с предиката на всё высказывание, а в обращениях необходимо менять местами предикат и термин, что не всегда удобно. Относительная простота и эффективность подобных преобразований поэтому заодно демонстрирует возможность использования различных символических языков для экспликации рассуждений и демонстрирует ещё раз проблему необходимости сознательного выбора адекватных средств контроля рассуждения.

Существует три основных типа собственно непосредственных преобразований. Два из них базовые: превращение и обращение, а одно производное составное – противопоставление предикату.

1. Превращение – это преобразование, в котором мы одновременно привносим отрицание на связку суждения и на его предикат. Так как классификация высказываний при делении их на утвердительные и отрицательные (деление высказываний по качеству) зависит от наличия или отсутствия отрицания на связке, то эта операция превращает утвердительные высказывания в отрицательные и, наоборот, так как при отрицании отрицательного высказывания мы в рамках классических рассуждений можем снять двойное отрицание по правилу удаления отрицания. Приведём примеры всех возможных преобразований в символическом виде (правый столбец). В левом столбце также символически обозначим тип суждения по классификации атрибутивных суждений по качеству и количеству.

 

А                          Все S суть Р

Е                          Все S не суть не Р    (или, как вариант, ни одно S не суть не P)

 

Е                          Все S не суть Р

А                          Все S суть не Р

 

 I                          Некоторые S суть Р

О                          Некоторые S не суть не Р

 

О                         Некоторые S не суть Р

 I                          Некоторые S суть не Р

 

При подобном преобразовании следует учесть, что, во-первых, сам предикат также может быть изначально отрицательным, но это не влияет на преобразование, необходимо лишь не наращивать количество отрицаний на предикате и вовремя снимать сдвоенные отрицания по правилу удаления отрицания. Во-вторых, в естественном языке мы можем для удобства сменить термин с отрицанием на его антоним. Внешне это будет выглядеть как ошибка подмены термина, но только выглядеть, так как, сменив внешнюю оболочку термина, мы оставляем в сохранности подразумеваемое, а, значит, такую замену можно произвести так же, как замену конкретного термина на его символическое обозначение, если мы под символом подразумеваем то же, что и под замещённым термином. Пример подобного замещения в операции превращения:

 

Все люди (суть) смертны 

Все люди не (суть) бессмертны

 

Слово бессмертные является эквивалентом слова не смертны. При внешнем различии за обоими словами понимается то же самое. Слово суть взято в скобки, чтобы продемонстрировать, как выглядит подобное преобразование в естественной речи, так как использование связки в настоящем времени не характерно для современного русского языка. Мы также помним, что вместо слова суть можно использовать слова есть или является (последнее было бы более уместно в данном случае и звучало бы естественней).

Превращение, в отличие от других преобразований этой группы, можно произвести со всеми типами атрибутивных высказываний, чего не скажешь о других типах собственно непосредственных преобразований.

И последнее замечание. Не поленитесь сами придумать примеры на превращения для всех видов атрибутивных высказываний. Практика показывает, что только таким образом формируются качественные навыки логического контроля. От простого чтения учебника толку мало.

2. Обращение – это преобразование, в котором субъект и предикат меняются местами. Но этим дело не ограничивается, так как такая замена сама по себе не даст правильного преобразования. От истинного высказывания, что все люди смертны, взаимозаменой субъекта на предикат без каких-либо иных преобразований мы перейдём к ложному высказыванию, что все смертные – люди, так как не все смертные люди, а ещё огромное количество разновидностей всего живого, и если уж быть точным, то, по-видимому, всё живое. Хотя для того, чтобы это высказывание стало ложным, достаточно бы было и одного контрпримера. Но это преобразование становится правильным, если мы также произведём замену кванторного слова все на некоторые. Некоторые смертные действительно являются людьми. Мы не стали иллюстрировать преобразование в виде превращения на кругах Эйлера из-за тривиальности этой проблемы, но для обращения мы проделаем это. Исходное общеутвердительное высказывание: все S суть Р. Строим диаграмму соотношения объёмов входящих в высказывание терминов. Это отношение включения объёмов. Удостоверьтесь в этом.

 

 

 

 

 

 

Мы видим, что не все Р включены в S. Но некоторые обязательно включены. Даже если S окажется единичным термином, некоторые Р пусть и в единственном числе окажутся в объёме S. Поэтому мы можем записать общее правило обращения общеутвердительных высказываний:

 

А                     Все S суть Р

I                      Некоторые Р суть S

 

Для общеотрицательных высказываний обращение проходит без смены квантифицирующего слова, так как в общеотрицательных высказываниях объёмы терминов исключают друг друга, и если все киты не рыбы, то и ни одна рыба не является китом. Построим диаграмму для высказывания: все S не суть Р.

 

 

 

Поэтому общее правило обращения для общеотрицательных суждений будет иметь следующий вид (не поленитесь осмыслить это, используя нашу картинку):

 

Ни один S не суть P

Ни один P не суть S

 

Обращение частноутвердительных высказываний также проходит без изменения квантифицирующего слова, так как если некоторые S являются Р, то и некоторые Р являются S. Если некоторые офицеры играют в шахматы, то и некоторые шахматисты являются офицерами. Изобразим это с помощью кругов Эйлера. Это отношение пересечения объёмов терминов.

 

 

 

 

Наше утверждение относится к территории, относящейся к обоим кругам одновременно. А общее правило для обращения частноутвердительных высказываний будет иметь вид:

 

I                        Некоторые S суть Р

I                        Некоторые Р суть S

 

Но вот частноотрицательное высказывание обратить невозможно. Мы по общему виду высказывания некоторые S не суть Р не можем судить в каком соотношении находятся объёмы терминов этого высказывания. Они могут и частично и полностью исключать друг друга, а также объём предиката Р может находиться в отношении включения в объём субъекта S. Примером полного исключения может служить высказывание: некоторые рыбы не являются китами. Вообще-то все рыбы не являются китами, но тем более и некоторая часть их, которую мы произвольно выделим, к китам отношения иметь не будет (например, сельди не являются китами). Проверьте это по диаграмме высказывания ни один кит не является рыбой.

Примером частичного исключения является высказывание: некоторые офицеры не играют в шахматы (не являются шахматистами). Диаграмма та же, что и для нашего примера обращения частноутвердительного высказывания, но с тем отличием, что в данном случае нас интересует как раз та часть кругов, которая не является общей для них.

Примером включения объёма предиката в объём субъекта может служить высказывание: некоторые смертные не являются людьми.

Или в символической форме: некоторые S не суть Р. Построим диаграмму взаимоотношения объёмов.                                                  

 

 

 

 

 

Анализ этих диаграмм показывает, что мы не можем сформулировать какого-либо правила, которое только по внешней форме высказывания позволяло бы предположить с уверенностью что-либо в отношении превращения частноотрицательного высказывания.

3. Противопоставление предикату – это преобразование, в котором мы последовательно производим сначала превращение исходного высказывания, а затем обращение полученного результата.

Обращение невозможно применить к частноотрицательному высказыванию. Но в процедуре противопоставления предикату обращению предшествует превращение, при котором частноотрицательное высказывание получается из частноутвердительного. Поэтому, если наше исходное высказывание частноутвердительное, то процедуру противопоставления предикату провести не удастся. В остальных случаях результат будет таким:

 

Для общеутвердительных высказываний (А):

 

Все S суть Р

Все S не суть Р

Все не Р не суть S

 

Для общеотрицательных высказываний (Е):

 

Все S не суть Р

Все S суть не Р

Некоторые не Р суть S – (обратите внимание на понижение уровня квантифицирующего слова, так как обращение проводится по отношению к общеутвердительному высказыванию).

 

Для частноотрицательного высказывания (О) (для частноутвердительного высказывания, мы помним, процедура противопоставления предикату не проходит на втором шаге):

Некоторые S не суть Р

Некоторые S суть не Р

Некоторые не Р суть S

 

Некоторые авторы также рассматривают процедуру, которую они называют противопоставление субъекту, заключающуюся в последовательном проведении сначала обращения, а затем превращения. В этом случае невозможно уже на первом шаге провести обращение частноотрицательного высказывания. В остальном же, если предыдущие наши рассуждения были понятны, процедура не представляет особого труда. Следует только не забывать, что обращение общеутвердительного высказывания приводит к понижению уровня квантифицирующего слова.

 

Преобразования по логическому квадрату.

 

Преобразования по логическому квадрату достаточно утомительны для изучающих эту проблему. Но избежать знакомства с ними невозможно, так как изменение высказываний по количеству и качеству – это достаточно часто встречающиеся в процессе содержательного рассуждения процедуры. Некоторые из этих процедур тривиальны, например, если все собаки млекопитающие, то и бульдоги (некоторые собаки) млекопитающие. Другие не столь очевидны. Притом, что процедур этих немало, это создаёт нагрузку и на память, и на внимание в процессе анализа. Поэтому изучающему необходимо набраться терпения и не надеяться освоиться с проблемой методом быстрочтения.

Напомним для начала вид логического квадрата.

                             А                            Е

 

 

 

 

 

                       

                             I                              О

На этот раз мы провели для наших нужд ещё и диагонали, и теперь все возможные виды атрибутивных высказываний связаны между собой и графически, визуально. Мы видим, что других видов взаимосвязи нет. Рассмотрим теперь эти отношения по существу.

1. Начнём с наиболее простого для запоминания вида взаимосвязи. Это, как раз, взаимосвязь высказываний, находящихся по диагонали, или взаимосвязь общеутвердительных высказываний с частноотрицательными и наоборот, и взаимосвязь общеотрицательных высказываний с частноутвердительными и наоборот. Эти высказывания, находящиеся по диагонали друг к другу, состоят в отношении противоречия, то есть, если одно из высказываний пары является истинным, то другое всегда ложное, и, наоборот, если одно из высказываний пары ложное, то другое обязательно истинное.

Например, если все люди смертны (А) – истинное высказывание, то некоторые люди бессмертны (не смертны) (О) - ложно. Если высказывание, что некоторые собаки не относятся к породе ризеншнауцеров (О) – истинно, то высказывание, что все собаки относятся к породе ризеншнауцеров (А) – ложно. Для примеров, когда исходные высказывания ложны, можно взять эти же высказывания, но начинать со второго высказывания пары.

В символическом виде эти преобразования имеют следующий вид:

 

Все S суть Р

Некоторые S не суть Р

 

Все S не суть Р

Некоторые S суть Р

 

Некоторые S суть Р

Все S не суть Р

 

Некоторые S не суть Р

Все S суть Р

 

Посмотрим, как это будет выглядеть на кругах Эйлера.

 

А – смертные

В – люди

 

 

 

Объём термина люди включён в объём термина смертные. Поэтому бессмертные (поле вокруг большего круга) никак не могут оказаться людьми. Самое большее, что мы можем сделать нашими манипуляциями с окружностями, чтобы не нарушить условие, определяемое высказыванием: все люди смертны, это сблизить внутреннюю окружность вплоть до касания её с внешней. Но и при этом ни один элемент из области бессмертных не станет общим с элементами объёма людей.

Но если мы возьмём термин с пустым объёмом, например, божественное происхождение (из-за отсутствия удовлетворяющих логическую критику доказательств наличия или отсутствия бога), и попробуем посмотреть на соотношение высказываний: некоторые люди не божественного происхождения (О) и все люди божественного происхождения (А) - то первое, с чем мы столкнёмся, это невозможность построить диаграмму соотношения объёмов для терминов люди и божественное происхождение. А поэтому и невозможность обосновать соотношение истинностных характеристик этих высказываний. Эти характеристики окажутся неопределёнными.

 

Если кого-либо из верующих не удовлетворит этот пример в связи с их убеждениями, то можно ввести другой откровенно бессмысленный термин жёлто-коричневое происхождение. Если же кто-то считает, что если высказывание все люди жёлто-коричневого происхождения истинно, то высказывание некоторые люди не жёлто-коричневого происхождения обязательно должно быть ложным, то это значит, что он предполагает термин жёлто-коричневое происхождение не только осмысленным, но и не пустым, и тем самым он попадает в область юрисдикции традиционной логики предикатов. Но вот реальное признание существование феномена жёлто-коричневого происхождения – это вопрос веры, также как и вопрос божественного происхождения, куда вход с логическими средствами контроля категорически запрещён. А потому и не может быть обсуждаемым, если сколько-нибудь последовательно проводить этот принцип. Но если что-то невозможно обсуждать, то и не стоит это делать, с чем пропагандисты веры согласиться не могут, вступая этим в противоречие с провозглашаемым ими же принципом.

 

2. Другой вид взаимосвязи между высказываниями - это взаимоотношения между высказываниями графически связанными по вертикали. Такой тип отношения называется подчинением. Хотя если быть точным, то так правильнее было бы назвать отношения между высказываниями по направлению от верхнего к нижнему высказыванию. Но распространяют это название на весь тип взаимоотношений. В данном случае мы имеем дело с преобразованием общих высказываний в частные или частных высказываний в общие. Но уже без одновременного изменения утвердительных высказываний в отрицательные или наоборот, как это было в случае с отношением противоречия.

В символическом виде эти преобразования будут выглядеть следующим образом.

 

Все S суть Р

Некоторые S суть Р

 

Все S суть не Р

Некоторые S не суть Р

 

Некоторые S суть Р

Все S суть Р

 

Некоторые S не суть Р

Некоторые S суть Р

 

Чтобы понять, что происходит с истинностными характеристиками при подобном преобразовании, сразу построим  изображение соотношения объёмов на кругах Эйлера. Убедимся, что мы всегда в данном случае имеем дело с отношением включения, что естественно, так как это отношение между общими и частными высказываниями, и частные высказывания по объёму всегда будут включены в объём общих высказываний. Объём объектов, входящих в класс S общего высказывания, будет больше объёма объектов класса S частного высказывания.

 

А – все S (которые связаны с

признаком Р)

В – некоторые S (которые связаны с

признаком Р)

 

Если истинно, что все объекты какого-то множества обладают определённым признаком, то о некоторых объектах, являющихся составной частью этого множества, можно также с уверенностью сказать, что истинно, что и они обладают этим признаком. Обратите внимание, мы отслеживаем два различных параметра, во-первых, наличие или отсутствие признака у элементов множества, и, во-вторых, истинность или ложность утверждения о наличии или отсутствии этого признака.

То же самое мы можем сказать и в том случае, если речь идёт об отсутствии признака у всех объектов определённого множества. Тогда у части этого множества данный признак также будет отсутствовать. И если истинно, что у всех объектов данного множества признак отсутствует, то истинно и высказывание, что некоторые объекты этого множества не обладают этим признаком.

Подведём итог для преобразования истинных общих высказываний в частные. Если общее высказывание истинно, то и соответствующее ему частное высказывание также истинно.

Рассмотрим теперь случай, когда утверждение о присутствии признака у всех объектов множества, ложно. Но это справедливо как в случае, если некоторые, но не все элементы этого множества обладают искомым признаком, причём неизвестно, какие обладают этой характеристикой, а какие нет. И это справедливо, когда ни один элемент множества не обладает этим признаком. В этой ситуации мы не можем с уверенностью сказать, ложно или истинно утверждение, что некоторые элементы обладают выделенным нами признаком, так как признак этот действительно может отсутствовать у всех элементов, но это может быть и не так. Мы не знаем в такой ситуации, какую истинностную характеристику приписать этому высказыванию, при ложности соответствующего общего высказывания.

Иногда в подобной ситуации говорят, что истинностная характеристика в данном случае неопределённая. Эту неопределённость можно понимать двояко. Во-первых, понимать её просто как констатацию нашего незнания истинностной характеристики высказывания, как мы это только что анализировали. Но можно понимать и как специфическую характеристику истинности - быть неопределённым, наравне с характеристиками быть истинным или быть ложным. В таком случае мы выходим за пределы установок классической логики и рассматриваем традиционные свойства преобразований по логическому квадрату как неклассическое построение. Таким образом, эти преобразования могут служить примером неклассической логики. Но мы всё же будем рассматривать эти преобразования, как классику, и термин неопределённо (будем заменять его буквой н) использовать в первом смысле, как незнание истинностной характеристики высказывания.

С преобразованием общеотрицательных ложных высказываний в частноотрицательные ситуация выглядит точно так же. Если ложно высказывание, что у всех объектов данного множества отсутствует искомый признак, то о некоторых объектах мы не можем сказать что-либо определённое, так как неизвестно присутствует ли он у всех объектов (тогда высказывание: некоторые S не суть Р – ложно), или присутствует лишь у некоторых и можно выделить группу или хотя бы один объект, у которого этого признак нет, и тогда наше частноотрицательное высказывание истинно. То есть мы опять не знаем, какова истинностная характеристика результата такого преобразования.

Подведём новый итог. Если общее суждение ложно, то частное суждение неопределённо с точки зрения его истинностной характеристики (мы не знаем, не можем определить по внешнему виду преобразования истинностную характеристику результата преобразования).

Если частноутвердительное высказывание истинно, то есть истинно, что некоторые объекты обладают определённым признаком, то из этого не следует, что и все объекты обладают этим признаком, хотя такая ситуация может сложиться. То есть мы не можем по внешнему виду преобразования определить истинностную характеристику результата преобразования.

То же самое происходит при подобном преобразовании частноотрицательных высказываний. Если у некоторых объектов выделенного вида отсутствует определённый признак (истинно высказывание: некоторые S не суть Р), то мы в общем случае ничего не можем сказать об отсутствии этого признака у всех объектов этого вида. То есть общеотрицательное высказывание будет с истинностной стороны – неопределённым.

Подведём следующий итог. Если частное суждение истинно, то общее суждение неопределённо.

Допустим теперь, что частноутвердительное высказывание ложно. Или, иначе, ложно утверждение, что некоторые объекты обладают искомым признаком. Но если даже в отношении некоторых объектов не верно, что они обладают этим признаком, то в отношении всех объектов подобного типа это тем более не верно, если хотя бы у одного объекта этого признака нет. И, следовательно, общеутвердительное высказывание также будет ложно.

То же самое мы обнаружим и при подобном преобразовании частноотрицательных высказываний. Если не правда, что у некоторых элементов множества отсутствует известный признак (у каких-то элементов он всё же есть), то обо всех элементах высказываться, что признак у них у всех отсутствует, также ложь (у каких-то он ведь есть).

Ещё один итог. Если частное высказывание ложно, то соответствующее ему общее также ложно.

 

3. Взаимоотношение высказываний в верхней части логического квадрата называется отношением противоположности. Отношение объёмов терминов в общеутвердительном высказывании, это либо отношение включения (все люди смертны), либо отношение совпадения объёмов (все конники кавалеристы). Отношение объёмов терминов в общеотрицательном высказывании, это всегда отношение исключения (ни один кит не рыба).

Если общеутвердительное высказывание истинно, что значит, что все объекты данного множества обладают известным признаком, то общеотрицательное высказывание, что эти объекты не обладают данным признаком, ложно, раз известно, что они обладают.

Если общеотрицательное высказывание истинно, что значит, что все объекты данного множества не обладают данным признаком, то общеутвердительное высказывание, что они обладают им, ложно, раз известно, что они этим признаком не обладают.

Итог. Если общее высказывание истинно, то противоположное ему общее высказывание ложно.

Если общеутвердительное высказывание ложно, то это значит, либо некоторые объекты, хотя бы один, данного множества не обладают признаком, наличие которого у объектов утверждается в высказывании, либо все они не обладают данным признаком. Но в этом случае мы, имея лишь данные о том, что утверждение все S суть Р ложно, не можем знать, все ли они не обладают данным признаком (если бы все не обладали, то соответствующее общеотрицательное высказывание было бы истинным, а если бы не все не обладали, то было бы ложным). Поэтому истинностная характеристика высказывания все S не суть Р неопределённа.

То же происходит, если ложно общеотрицательное высказывание. Ложность общеотрицательного высказывания не даёт нам определённости в вопросе у всех или не у всех объектов присутствует искомый признак. Поэтому мы не можем определить истинностную характеристику высказывания, в котором утверждается, что этот признак присутствует у всех объектов. Или иными словами истинностная характеристика соответствующего общеутвердительного высказывания неопределённа.

Опять итог. Если общее высказывание ложно, то противоположное ему общее высказывание неопределённо с точки зрения его истинностной характеристики. Слово общее в отношении противоположного высказывания мы могли и опустить, так как отношение противоположности, это отношение между общими высказываниями.

 

4. Последнее взаимоотношение, которое мы исследуем, это отношение между частными высказываниями. На квадрате они находятся на нижней горизонтали. Это отношение называется отношением подпротивоположности (по-видимому, потому, что находится на логическом квадрате под отношением противоположности).

Если истинно утверждение, что некоторые объекты обладают определённым признаком (частноутвердительное высказывание), то это может значить и то, что все, а не только некоторые объекты обладают этим признаком. Поэтому мы не можем сказать истинно или ложно высказывание, что некоторые объекты не обладают этим признаком. Истинностная характеристика соответствующего частноотрицательного высказывания будет неопределённой.

Если истинно частноотрицательное высказывание, что некоторые объекты не обладают известным признаком, то это может значить, и что все объекты им не обладают, и что лишь некоторые не обладают. Поэтому мы не можем знать, правда ли, что некоторые объекты этим признаком обладают (частноутвердительное высказывание). Истинностная характеристика соответствующего подпротивоположного высказывания также будет неопределённой.

Снова итог. Если частное высказывание истинно, то подпротивоположное ему высказывание неопределённо по истинностной характеристике.

Если частноутвердительное высказывание ложно (ложно, что некоторые S суть Р), это значит, что ни один объект, о котором идёт речь, не обладает указанным признаком. А значит истинно, что эти объекты этим признаком обладают. А если все обладают, то и некоторые из них тоже. А, значит, соответствующее частноотрицательное высказывание будет истинно.

Если частноотрицательное высказывание ложно (ложно, что некоторые S не суть Р), это значит, что все объекты, о которых идёт речь, как раз обладают указанным признаком. И поэтому некоторые объекты этим признаком обладать будут, и высказывание о том, что они обладают этим признаком (частноутвердительное высказывание) будет истинным.

Ещё один итог. Если частное высказывание ложно, то подпротивоположное высказывание истинно.

Изобразим результаты нашего анализа на логическом квадрате.

           

           А                                                       Е

                       и    л                  л    и

и      л                         л     и                                        л    и                           и    л

                       л    н                  н    л           

                 и  л                                   и  л   

                                                                      

                           и  н                                   и  н                        

                                                              

                 н  л                                   н  л

                                                                        

                 и  л                                   и  л

                   

                                 и    н                 н     и

                       л    и                 и     л               

           I                                                        O

 

Естественно, что сразу результаты нашего анализа запомнить трудно. Запоминается это постепенно, при практическом использовании. Но какие-то усилия по запоминанию проявлять необходимо, тем более что противоречивые высказывания запоминаются легко. Также нетрудно запомнить переход от истинных общих высказываний к частным. Другие отношения запоминаются по мере использования.

Для того чтобы легче было запомнить, допустим, что общеутвердительное высказывание истинно. Мы помним, что частноутвердительное высказывание в таком случае истинно (отношение включения), а частноотрицательное ложно (отношение противоречия). Общеотрицательное поэтому не может быть истинным, так как частноотрицательное также должно было бы быть в таком случае истинным, но оно у нас ложное. Можно постараться запомнить, что при ложном частном высказывании соответствующее ему общее ложно. Тогда в нашем случае общеотрицательное высказывание ложно, что соответствует тому, что мы раннее продемонстрировали при содержательном анализе этой проблемы.

                и          л                

 

 

                и          л    

Проверьте всё по изображению на логическом квадрате и убедитесь самостоятельно, что весь ход наших рассуждений верен, если истинным признать общеотрицательное высказывание. В этом случае мы получим симметричную картинку.

Допустим, что общее высказывание ложно. Для простоты возьмём общеутвердительное высказывание. Тогда частноотрицательное высказывание истинно. Теперь в самый раз запомнить, что в вертикальных преобразованиях остальные варианты ведут к неопределённости. Если общее высказывание (в нашем случае общеутвердительное) ложно, то частное (в нашем случае частноутвердительное) неопределённо по истинностной характеристике. То же рассуждение можно было бы провести в отношении преобразования истинного частноотрицательного высказывания в общеотрицательное. Но можно и обратить внимание, что не может общеотрицательное высказывание иметь определённую истинностную характеристику, если противоречащее ему частноутвердительное высказывание неопределённо по этой характеристике. Отметьте ход нашего рассуждения на логическом квадрате (не поленитесь нарисовать для этого новый квадрат) и проведите всё рассуждение для ложного общеотрицательного высказывания (тоже на новом квадрате). Картинка должна получиться симметричной.

                              л          н     

 

                              н          и  

Если частноутвердительное высказывание истинно, то общеотрицательное ложно (отношение противоречия).  Но ни вверх от истинного частноутвердительного высказывания, ни вниз от ложного общеотрицательного высказывания мы определить истинность высказываний не можем. Это согласуется с тем, что неопределённые общеутвердительное и частноотрицательное высказывание находятся по диагонали. Если бы одно из них было бы определённым с истинностной стороны, то таковым должно бы было быть и другое. Если вы всё это отследили на изображении логического квадрата, то повторите это же самостоятельно на новом квадрате для истинного частноотрицательного высказывания. Картинка также должна быть симметричной. Обратите внимание, что эти картинки совпадают с картинками, где исходным высказыванием для преобразования мы берём ложное общее высказывание.

                     н         л

 

                     и         н

Допустим ложность частного высказывания. Возьмём ложное частноутвердительное высказывание. Тогда общеутвердительное высказывание также ложно, а общеотрицательное истинно, как противоречащее. Теперь осталось определить, что частноотрицательное высказывание истинно. Это можно сделать и в связи с отношением противоречия с ложным общеутвердительным высказыванием, и с помощью отношения включения в объём истинного общеотрицательного высказывания. Для ложного частноотрицательного высказывания наши рассуждения будут аналогичны, а картинка симметрична. Проверьте это. Обратите внимание, что эта картинка будет совпадать с картинкой, где исходным мы берём истинное общее высказывание.

                          л             и

 

 

                       

                          л             и    

Если общее высказывание неопределённо, допустим общеутвердительное, то неопределённым является и частноотрицательное. Неопределённость общеутвердительного высказывания может следовать из истинности частноутвердительного высказывания и из ложности общеотрицательного, что согласуется между собой (отношение противоречия между ними). Неопределённость частноотрицательного высказывания также следует из истинности частноутвердительного высказывания и из ложности общеотрицательного. Для неопределённого общеотрицательного высказывания картинка симметрична, а рассуждения аналогичны.

Такие же результаты мы получим, если допустим неопределённость частного высказывания, так как по диагонали квадрата ему будет соответствовать неопределённое общее высказывание, а затем весь ход рассуждений повторится, и картинки совпадут с теми, которые мы получили для неопределённых общих высказываний.

                        н          л        

 

                        и          н           

Поэтому, если подвести итог, то у нас налицо только два вида симметричных картинок, а это уже не страшно.

 

Простой категорический силлогизм.

 

Простой категорический силлогизм – это также специфический вид преобразований высказываний в классической, традиционной логике предикатов. Этот вид преобразований в целом разработан в работах Аристотеля, затем обработан, обобщён и проинтерпретирован средневековыми специалистами, а затем получил окончательное оформление в "Логике" Пор-Рояля в начале 60-х годов 17-го века.

Простой категорический силлогизм представляет собой преобразование двух высказываний, у которых есть одинаковый дескриптивный термин, в третье высказывание, состоящее из двух оставшихся терминов. Самый распространённый пример такого преобразования:

 

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Сократ – смертен.

 

Некоторую сложность в этом примере представляет то, что в русском языке общий для двух высказываний термин человек, который мы выделили курсивом, имеет супплетивную форму множественного числа люди (человеки).

Но не всякое преобразование подобного вида можно считать правильным, обеспечивающим при истинных посылках преобразования истинное заключение. Например, не будет соответствовать этому требованию преобразование:

 

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Все смертные – Сократы.

 

В традиционной логике, для того чтобы различать правильные преобразования от неправильных, не обеспечивающих истинность заключения при истинности посылок, вводят некоторые уточнения и правила. Во-первых, привычный порядок использования символов для записи высказывания, когда субъект высказывания стоит перед его предикатом, используется только для экспликации заключения. То есть только заключение в символической записи будет иметь вид: все (или некоторые, или вообще просто без ничего) S суть Р. Или часто на схемах œ(или, как вариант, ›, или вообще без ничего) S – Р. Напомним также, что единичные термины, как и в преобразованиях по логическому квадрату, рассматриваются как имена класса с единственным объектом, или, иначе, как термин, перед которым стоит квантор общности, который при записи опускается, так как стилистически плохо звучит словосочетание все Сократы.

Во-вторых, общий для обеих посылок термин, называют средним и обозначают буквой М (от латинского слова medium - средний, посредник).

В-третьих, первой выписывается посылка, в которой присутствует предикат заключения. И эта посылка называется большей. А посылка, в которой присутствует субъект заключения, называется меньшей и записывается второй. Поэтому в неправильном примере преобразования, который мы привели только что, если присмотреться, нарушено правило следования посылок, первой записана посылка, в которой присутствует субъект заключения. Правда, если мы посылки этого преобразования выстроим в правильном порядке, оно от этого правильным не станет. Но этот порядок необходим для удобства дальнейшей проверки преобразования.

В-четвёртых, в традиционном изложении именно для этой дальнейшей проверки по внешним, или как их назвали, формальным признакам (по признакам, связанным с внешней организацией, структурой, формой преобразования) все простые категорические силлогизмы разделили на четыре фигуры. Последняя четвёртая фигура как раз и была выделена из первой фигуры в "Логике Пор-Рояля". Вот эти фигуры:

1.М      Р      2.Р      М      3.  М       Р      4.Р        М

   S       М        S      М           М       S         М       S

   S       Р         S      Р             S        Р        S        Р   

Или, если оставить только схему связи терминов внутри посылок и соединить линией средние термины в обеих посылках, то фигуры наши будут иметь следующий вид (без последней строчки заключения):

 1.                    2.                     3.                     4.

 

 

Запомнить, как выглядит какая фигура, можно таким образом. Средние термины находятся по диагоналям у крайних фигур (соответственно у средних фигур они находятся на одной вертикали). Причём последняя четвёртая фигура напоминает букву Z, а, следовательно, первая фигура является её зеркальным отражением. Вторая же и третья фигуры направлены друг от друга.

Так как посылки в фигурах могут отличаться по качеству (утвердительные или отрицательные) и количеству (какое используется квантифицирующее слово), то все фигуры при традиционном изложении простого категорического силлогизма разделены на модусы (от латинского слова modus – разновидность). Далее при традиционном изложении предлагается запомнить ряд правил, выполнение которых гарантирует правильность преобразования. Эти правила можно обосновать анализом примеров.

Различают общие правила, применимые ко всем фигурам, и частные правила фигур, которые мы опустим, чтобы не перегружать память, так как после появления способа проверки любого силлогизма с помощью кругов Эйлера, необходимость в правилах в целом отпадает. Но мы всё же воспроизведём и немного обсудим общие правила фигур, так как они демонстрируют некоторые важные свойства правильных преобразований в простом категорическом силлогизме.

1. В силлогизме должно быть только три высказывания и только три термина. Правило кажется простым, но мы уже воспроизводили ошибку, когда один и тот же по внешнему виду термин используется один раз в собирательном, а другой раз в не собирательном смысле, от чего внешне правильный силлогизм оказывается не верным. Вспомните наш пример: все экскурсанты разбежались в разные стороны, Петров экскурсант, значит, он разбежался в разные стороны.

2. Если одна из посылок частное высказывание, то заключение должно быть частным.

3. Если обе посылки частные высказывания, то заключение сделать невозможно. Эти два правила становятся понятными при анализе преобразования на кругах Эйлера. Если какой-то признак присущ лишь некоторым объектам, то мы не можем выяснить, имея только высказывание подобного вида, присущ ли он всем объектам. А если два признака присущи некоторым объектам множества, то нет гарантии, что они присущи одним и тем же объектам, и заключение сделать невозможно.

4. Если одна из посылок отрицательное высказывание, то и заключение является отрицательным высказыванием.

5. Если обе посылки отрицательные высказывания, то заключение сделать невозможно. Последние два правила также становятся понятны при анализе соотношения объёмов терминов на кругах Эйлера. Попробуйте проверить это сами для различных вариантов квантифицирующих слов при посылках.

Ю.В. Ивлев в своём учебнике логики предлагает также правило, что если обе посылки утвердительные, то и заключение должно быть утвердительным.

Следующие два правила касаются проблемы распределённости терминов в высказывании. Именно для этой цели проблема распределённости терминов исследуется в теме высказывание. Эта проблема также связана с соотношением объёмов терминов в атрибутивном высказывании, и, чтобы не загромождать учебник, мы предлагаем желающим попробовать самостоятельно обосновать эти правила демонстрацией на кругах Эйлера. Вот эти правила.

6. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок.

7. Термин (субъект или предикат) не может быть распределён в заключении, если он не распределён в посылке.

Пример ошибки на правило №6.

 

Все кошки имеют четыре ноги.

Все собаки имеют четыре ноги.

Все собаки кошки.

 

Термин четвероногие (средний термин данного силлогизма) оказывается нераспределённым ни в одной из посылок. Проверьте.

Пример ошибки на правило №7.

 

Все люди смертны.

Все собаки не являются людьми.

Собаки бессмертны (не смертны).

 

Термин смертные в посылке не распределён (проверьте на диаграмме, это отношение включения), а в заключении распределён (отношение взаимоисключения объёмов, как всегда в общеотрицательных высказываниях).

Общие правила, по крайней мере, правила в отношении качества и количества высказываний, полезны в том смысле, что они помогают наравне с правилами построения фигур построить заключение. Если правила построения фигур, при условии, что мы считаем заданный порядок посылок правильным, позволяют определить субъект и предикат заключения, то общие правила позволяют в первом приближении решить вопрос о количестве (квантифицирующем слове) и качестве (утвердительное или отрицательное) заключения.

В традиционной логике кроме общих и частных правил также существовала система обозначений для различных модусов всех фигур. В частности использовались гласные латинского алфавита а, е, i, о для обозначения посылок и заключения в зависимости от качественной и количественной характеристики высказываний, входящих в состав силлогизма. Так известный правильный модус первой фигуры типа: все люди смертны, Сократ человек, значит, он смертен, называется Barbara.

Но, как мы отмечали, с появлением кругов Эйлера появился наглядный способ демонстрации проверки преобразований в простом категорическом силлогизме. При всём неудобстве необходимости строить каждый раз диаграмму соотношения объёмов терминов до тех пор, пока не натренируется навык, позволяющий сразу обнаруживать ошибки, использование правил проверки, по крайней мере, правил в отношении распределённости терминов, всё равно заставляет такие построения делать. Давайте посмотрим, как работает этот метод на различных правильных и неправильных преобразованиях во всех фигурах.

Первая фигура.

 

Все граждане страны имеют право на образование.

Я гражданин.

Я имею право на образование.

 

 

 

 

 

 

 

 

Предикат Р – иметь право на образование самый большой по объёму, так как право на образование имеют и не граждане. Субъект – я, обозначен точкой, элемент объёма среднего термина – граждане, который в свою очередь включён в объём термина – имеющие право на образование. Наглядно видно, что тот, кто обозначен термином я, имеет право на образование.

 

Некоторые люди любят пиво.

Маша человек.

Маша любит пиво.   (Здесь, правда, сразу видно, что заключение не верно, так как у нас одна посылка частная, а заключение с единичным термином, то есть общее.)

 

 

 

 

 

 

 

Предикат (любители пива) включён в объём среднего термина (люди). Субъект (Маша) включён в объём термина люди. Но в отношении любви к пиву ничего определённого сказать нельзя, так как нет никаких причин, исходя только из записанного, дающих повод отнести этот элемент к определённой части пространства объёма. Мы не можем сделать заключение. Силлогизм неправильный.

Ещё один сходный пример, но с общими терминами в посылках.

 

Некоторые люди любят пиво.

Все студенты люди.

Все студенты любят пиво.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И термин студенты и термин любители пива включены по объёму в объём термина люди, но в отношении друг друга находятся в отношении пересечения. Если вы даже включите в объём любителей пива животных, которых люди слегка испортили, то это только усложнит диаграмму, так как предикат окажется в отношении пересечения со средним термином. Но это не позволит нам сделать заключение с квантором общности, как это сделано в нашем случае. Этот силлогизм неправильный.

Вторая фигура.

 

Ни одна рыба не является китом.

Кашалоты являются китами.

Кашалоты не являются рыбами.

 

 

 

 

 

Средний термин (киты) включает в себя по объёму субъект (кашалоты) и исключает предикат (рыбы). Очевидно, что кашалоты и рыбы по объёму исключают друг друга.

 

Некоторые студенты отличники.

Миша не отличник.

Миша не студент.

 

 

 

           . S ?

 

На изображении объёмов видно, что то, что термин Миша исключён из объёма отличников, не утверждает, в каком отношении он находится по отношению к термину студенты. Заключение по правилам построения фигур силлогизма сделано неоправданно. Силлогизм неправильный.

Третья фигура.

 

Все металлы проводят  тепло.

Все металлы - электропроводны.

Некоторые электропроводники также теплопроводны.

 

 

 

 

 

Средний термин – металлы – в любом случае включён в область объёмов субъекта и предиката. Поэтому объёмы субъекта и предиката находятся в отношении пересечения, а значит заключение, что некоторые из элементов включены в оба объёма, верно. Силлогизм правильный.

Но если бы мы сделали заключение, что все электропроводные вещества теплопроводны, то логически это не следует. На изображении мы видим, что теоретически, если исходить только из высказываний, в общем виде могут быть элементы не входящие в объём другого термина заключения. Поэтому заключение с квантифицирующим словом все сделать в данном случае нельзя, и силлогизм не правильный.

Четвёртая фигура.

 

Все киты - млекопитающие.

Ни одно млекопитающее не рыба.

Ни одна рыба не кит.

 

 

 

 

 

На диаграмме видно, что заключение справедливо и силлогизм правилен.

 

Все члены хора простудились.

Всем, кто простужен, нельзя петь.

Все не поющие являются членами хора.

 

 

                 S       

 

 

 

 

То, что субъект и предикат включены в объём среднего термина, не объясняет отношение их объёмов друг к другу. Мы в этом случае не можем сделать заключение и с квантифицирующим словом некоторые. Силлогизм неправильный.

С простым категорическим силлогизмом связаны и иные проблемы. Например, по условию задачи может быть задана одна посылка и заключение, и необходимо определить вид другой посылки, при предположении, что силлогизм правильный и заключение следует из посылок. Такой вид задач называется энтимемой (от древнегреческого слова в мыслях, в уме). Если известно, какая посылка пропущена, то её вид будет зависеть от того субъект или предикат заключения будет одним из её терминов, при том, что другой термин посылки – это средний термин, который мы выделяем из посылки, которую нам задана по условию. Порядок терминов в недостающей посылке, а также её качественные и количественные параметры подбираются так, чтобы проверка показала, что полученный силлогизм правильный.

Но задача может быть и усложнена. Во-первых, по условию может быть неизвестно, какая посылка отсутствует. В этом случае труднее определить правильную фигуру и модус. Во-вторых, задача может оказаться ещё сложнее, если в задаче не указано, какое из высказываний является посылкой, а какое заключением. Но после некоторой практики по решению задач на выяснение правильности силлогистических преобразований и решению энтимем на самом деле задачи эти не представляют особой сложности и в большинстве случаев легко решаются в уме, что и требуется для навыков логического контроля рассуждения в ходе диспута.

В традиционной логике предикатов исследуются также полисиллогизмы, представляющие собой два или более простых категорических силлогизма, связанные таким образом, что заключение предшествующего силлогизма служит посылкой следующего. В более простом случае заключение служит большей посылкой следующего силлогизма (прогрессивный полисиллогизм). Но заключение предшествующего силлогизма может служить и меньшей посылкой следующего силлогизма (регрессивный полисиллогизм). Можно также в различном порядке сочетать прогрессивные и регрессивные полисиллогизмы.

Обычно при записи полисиллогизмов промежуточные заключения не отделяют чертой обозначающей отношение следования. Такая запись, во-первых, приближает полисиллогизм к записи естественного рассуждения и, во-вторых, если мы всё же сохраняем запись по типу одно высказывание - одна строчка, такая запись является аналогом натурального вывода в исчислении высказываний и, собственно, является натуральным выводом в традиционной логике предикатов. Поэтому, хотя аксиоматическое построение логики высказываний предшествовало её натуральному построению, но об историческом приоритете методов ещё можно поспорить. А в связи с этим можно поспорить и о необходимой степени пуританского формального построения натуральной логики высказываний.

Полисиллогизмы, также как и простой категорический силлогизм, могут быть построены в сокращённой форме с пропуском промежуточных заключений и определённых посылок. Такое своеобразное полисиллогистическое преобразование, сводимое к последовательности силлогизмов с энтимемами, получило в традиционной логике название сорит. Различают прогрессивный сорит, получаемый из прогрессивного полисиллогизма отбрасыванием заключений предшествующих силлогизмов и больших посылок последующих, и регрессивный сорит, получаемый из регрессивного силлогизма отбрасыванием заключений предшествующих силлогизмов и меньших посылок последующих (при этом в первом силлогизме большую и меньшую посылку меняют местами). Таким образом, в прогрессивном сорите в заключении субъект является субъектом последней посылки, а предикат является предикатом первой посылки. А в регрессивном сорите субъект заключения является субъектом первой посылки, а предикат заключения является предикатом последней посылки.

Пример прогрессивного сорита:

 

Все люди смертны.

Древние греки люди.

Афиняне - греки. (Имеются в виду древние греки и Афины.)

Сократ - афинянин.

Сократ - смертен.

 

Пример регрессивного сорита:

 

Сократ – афинянин.

Афиняне – греки.

Греки – люди.

Люди – млекопитающие.

Млекопитающие – живые организмы.

Живые организмы употребляют воду.

Сократ употреблял воду.

 

В традиционной логике исследуется ещё один вид сложного силлогизма, который называется эпихейремой. Представляет он собой простой категорический силлогизм, посылками которого служат заключения двух других категорических силлогизмов, у которых оказывается одинаковым один из терминов, становящийся средним термином нового преобразования. При этом исходные силлогизмы обычно предстают в виде энтимем, то есть с одной посылкой и заключением. Или, иными словами, в эпихейреме преобразование использует два заключения в виде посылок, а в сорите только одно, а вторую посылку мы вводим самостоятельно. Пример эпихейремы:

 

Все рыбы позвоночные,            (заключение первой энтимемы)

так как рыбы имеют скелет.

Все акулы рыбы,                        (заключение второй энтимемы)

так как рыбы дышат жабрами.

Все акулы - позвоночные.

 

Тема 6. Не дедуктивные рассуждения.

 

Если под дедуктивными рассуждениями понимать рассуждения, подчиняющиеся требованиям, изложенным в теме преобразование высказываний, то те рассуждения, которые мы будем исследовать в этой теме, подобным требованиям не соответствуют, хотя связь высказываний с точки зрения наших содержательных представлений о логической связности речи обычно в подобных рассуждениях демонстрировать специально нет необходимости. Причиной этого является дологический, архаический характер аргументации, который используется в подобных рассуждениях или лежит в их основе и лишь усовершенствуется на основе опыта работы в дедуктивных системах контроля рассуждения.

В современной логике под дедуктивными рассуждениями понимают рассуждения, в которых характер связи между высказываниями-посылками и заключением рассматривается, как аналог связи с помощью импликации, когда в целом из высказываний с характеристикой истина не может быть получено заключение с характеристикой ложь, а из истинных и ложных посылок мы всегда получаем истинные заключения. Такой тип связи между высказываниями в рассуждении называют отношением следования. Имеющиеся в некоторых учебниках унаследованные от традиционной логики определения дедуктивной логики, как способов перехода от общего к частному серьёзной критики не выдерживают, так как опровергаются контрпримером. Например:

 

Все люди смертны.

Все человеки (просим прощения за стиль) люди.

Все человеки смертны.

 

Мы видим, что здесь нет перехода от общего к частному и, тем не менее, мы воспринимаем данное рассуждение, как простой категорический силлогизм. А в исчислении высказываний мы вообще не можем использовать операции с объёмами для объяснения и обоснования процедур.

Мы попытаемся показать, что характер убедительности логической связности в не дедуктивных рассуждениях несколько иной и в целом лежит за пределами нашего опыта дедуктивного преобразования высказываний. К не дедуктивным рассуждениям мы будем относить рассуждения по аналогии и индуктивные рассуждения.

 

Аналогия.

 

Как мы уже отмечали, многие авторы, в первую очередь ориентированные на строгие методы исчисления и доказательства, не считают аналогию средством аргументации. Но распространённость аналогии реально в подобной практике и отнюдь не дедуктивный характер наших рассуждений, аргументации, а также мышления и реальности делают необходимым проанализировать природу подобных рассуждений для их логического контроля. Так как очень часто мы ссылаемся на сходство предметов, явлений, процессов, их параметров, признаков и отношений.

Но в аналогии может быть даже более чем в других типах рассуждений, заметно, что за рассуждениями стоят процессы решения приспособительных задач, не имеющие прямого отношения с оформлением речью промежуточных результатов, необходимых для коллективного взаимодействия и выживания людей. Попробуем в первом приближении посмотреть, как формировался такой тип решений задач и дальнейшее оформление их в качестве рассуждений.

Какие-то операции сличения, сопоставления производят уже простейшие одноклеточные, о чём свидетельствует их поведение. Такие же операции производят и более сложные частично или полностью перемещающие себя организмы, которым необходима ориентировка при решении задач выживания и проблем, возникающих во внутренней и внешней среде. Но даже в речи людей до появления цивилизации невозможно найти конструкций, которые можно было бы интерпретировать как полноценные рассуждения по аналогии. Хотя ассоциативную связь в причинах действий и в особенностях речевых форм при интерпретации их предположить можно. Примерно такой уровень развития речи можно обнаружить у некоторых современных племён находящихся на стадии до цивилизации.

Но рассуждений по аналогии, а не только того, что привносит при интерпретации исследователь, нет и в текстах ранних стадий древнейших цивилизаций раннегосударственного периода. Содержание этих текстов буквально, однозначно, будь ли это тексты хозяйственного содержания или записанные позднее эпос и тексты культово-обрядового характера. Впервые то, что в текстах можно было бы назвать сравнением или метафорой, появляется только при формировании государства и появлении ориентированной на традицию рефлексии, вызванной сформировавшейся в этот период открытой речевой полемикой, часто не связанной с непосредственным решением приспособительных задач. Ассоциативная аналогия в текстах этого периода производится по самым разнообразным параметрам, иногда непонятным для нас, вследствие отсутствия у нас опыта существования в иной культуре. Это может быть и внешнее подобие, и более или менее случайные признаки, когда-либо сопутствовавшие предмету обсуждения, сходные состояния внутреннего плана или лингвистические параметры составляющих речи об обсуждаемой проблеме.

После появления буддистской концепции и присущей ей идеи существования не воспринимаемой реальности убедительные сравнения, сопоставления рассматриваются как приёмы мышления и аргументации, как средство познания реальности. Так происходит и в индийских логических изысканиях, подобные процессы происходят и в европейской логике.

Но для целей логического контроля мы должны отвлечься от всего, что обеспечивает аналогию, и рассмотреть её результат как рассуждение, искусственно организованное на манер дедуктивного. Представим аналогию в таком виде:

 

А обладает признаками а₁, а₂, а₃, ... , а_n, b, c

В обладает признаками а₁, а₂, а₃, ... , а_n

В обладает признаками b, c

 

В отличие от дедуктивного построения мы не можем здесь обосновать необходимость связи заключения с посылками ни средствами математической аргументации, ни демонстрацией отношений объёмов. Мы должны согласиться с тем, что мы вообще не можем продемонстрировать формальную необходимость такой связи. Мы можем говорить здесь лишь о вероятности того, что заключение верно. Для обоснования заключения мы в каждом случае вынуждены прибегать к содержательному анализу ситуации, хотя некоторые формальные признаки конструкции рассуждения по аналогии могут усилить его достоверность. Сложность использования этих формальных признаков в том, что они всё же не гарантируют от подмены и требуют, в конечном счёте, апелляции к реальности, что характерно для решения задач на уровне традиционного сознания.

Таким образом, если мы вынуждены ссылаться лишь на форму рассуждения, мы, во-первых, должны быть гарантированы, что признаки, на основе которых мы демонстрируем рассуждение по аналогии, существенны. Но это, как мы уже говорили, проблема адекватности наших представлений о реальности,

Во-вторых, таких признаков желательно иметь как можно больше и как можно более разнородных. Но если эти признаки не существенны, то их количество и разнородность ничего не решает. У мужчин и женщин огромное количество общих признаков, начиная с количества конечностей и пальцев на руках и ногах, но мужчины это мужчины, а женщины это женщины. Общие признаки здесь относятся к иному дискурсивному понятию, например обозначаемому термином человек. Но если даже взять только мужчин, даже двойников, то наличие респираторного заболевания одного из них не влечёт с необходимостью другому также оказаться простуженным.

В-третьих, переносимый признак, по мнению тех, кто надеется усилить аналогию, анализируя её оформление речью, должен относиться к той же стороне реальности, что и сходные признаки. Или, как утверждают поклонники неявного скрытого репрезентативного отношения речевых феноменов и реальности, выражать ту же сущность. Но с концепцией репрезентативного отношения речи и реальности невозможно согласиться из-за накопившихся несуразностей этого подхода. А без этого становится ещё очевидней, что задача, которую нам следует решать, опять содержательна. Поэтому рассуждения по аналогии лишь оформляют специфику решения задач. Рассмотрение  процессов и механизмов, обеспечивающих подобные решения, лежит за пределами интересов логических исследований и за пределами методов логики.

 

Следует обратить внимание, что любая теоретическая модель является аналогом какого-нибудь ракурса рассмотрения реальности. Но логическая проблема по отношению к теории с нашей точки зрения возникает только в случае, если мы вынуждены производить контроль рассуждения. То есть если мы проверяем выполнение логических связей между высказываниями теории.

Или если, например, у нас одна посылка представляет собой высказывание, вытекающее как следствие теории, в котором предполагается наличие у исследуемого феномена каких-либо параметров, а другая посылка утверждает, что мы имеем дело с феноменом, у которого некоторые признаки совпадают с теоретическими параметрами. В таком случае у нас есть основание предполагать, что и иные теоретические параметры должны обнаружиться у нашего феномена, и как раз здесь желательно, чтобы наша аналогия была как-либо усилена в связи с большой трудоёмкостью, затратой средств, а то и с риском неприятных последствий в случае ошибки. В подобных случаях аналогия обычно служит лишь предварительным этапом исследования, и её выводы перепроверяются иным путём.

Реже аналогия является стимулом теоретического поиска следствий теории, если возникает предположение, что утверждение о наблюдаемых признаках позволяет вывести эти признаки в процессе логико-математического развития теории, описывающей наши феномены.

В ином случае по отношению к аналогии мы имеем дело не с логической проблемой, а с эвристической, теоретико-познавательной, педагогической, суггестивной, художественной или какой угодно другой.

 

Индукция.

 

Истоки индукции необходимо также искать в до логический период развития мышления. Впервые исчерпывающие перечисления чего-либо можно обнаружить в древних хозяйственных текстах раннегосударственного периода. В эпоху установления государств уже можно обнаружить отвлечённую от хозяйственных нужд систематизацию сведений в виде перечислений также в эпосе и текстах имеющих отношение к культовой деятельности. Логической функции контроля рассуждения эти перечисления не несли и формы рассуждения не имели, но всё же служили для художественной, теоретической или прикладной убедительности.

С появлением логической проблематики такие приёмы начинают рассматриваться, например Аристотелем в древней Греции и джайнами в Индии, как приём убедительной демонстрации, который впоследствии будет назван индукцией через полное перечисление. Индукция будет рассматриваться как рассуждение, где посылками служат высказывания о конкретной присущности какого-нибудь определённого признака конечному, перечисляемому по очереди в каждом высказывании набору феноменов, а заключением служит высказывание, что всему этому набору объектов, представляющих собой желательно класс, присущ этот признак. Отсюда начала формироваться не выдерживающая на сегодняшний день критики концепция, что индукция обобщает (в случае, если перечисляемые объекты действительно удастся представить как класс, а если нет?), а дедукция является переходом от общего к частному (критикой этого положения мы уже занимались). Вследствие неудачи этого подхода было предложено понимать индукцию как рассуждение, в котором между посылками и заключением устанавливается отношение подтверждения, которое объясняется по аналогии с отношением следования в виде таблицы истинности такого вида:

 

Г	Ì	D
и	и	и
и	и	л
л	л	и
л	и	л

 

Г здесь совокупность посылок рассуждения, D - заключение, а Ì - знак отношения подтверждения. Аналогия эта красива, но, по-видимому, для понимания природы индуктивных рассуждений даёт лишь то, что демонстрирует, что если у нас перечисление не полно, то при истинных посылках мы можем получить ложное заключение. Природы индукции она не раскрывает, а скорее запутывает картину, так как отвлекает от осознания того, что в индуктивных рассуждениях мы имеем дело, скорее всего, с несколькими внешне сходными по некоторым параметрам приёмами, об одном из которых (об индукции через полное перечисление) мы уже говорили. Перевод термина индукция (наведение) тоже не помогает понять специфику этих типов рассуждения.

Кроме индукции через полное перечисление в совокупности индуктивных приёмов обычно рассматривается также неполная индукция, математическая индукция, а также статистические рассуждения, сходные с неполной индукцией тем, что вывод здесь также не полностью достоверен, хотя сами рассуждения последнего типа следует отнести к дедуктивным. Но если сделать акцент на не абсолютной достоверности вывода, то и проблему гипотезы также следовало бы рассмотреть в этом разделе, да и откровенно имеющие иную природу рассуждения по аналогии также не претендуют на абсолютную достоверность.

Попробуем просто в порядке очерёдности рассмотреть эти проблемы. То, что из неполного перебора объектов мы не можем сделать вывод о том, что все объекты данного класса обладают исследуемым признаком, по-видимому, в доказательстве не нуждается. Но достаточно часто прикладная необходимость заставляет нас строить рассуждение о возможном всё же наличии данного признака и у иных объектов этой предметной области. Возникает вопрос, нельзя ли как-то усилить достоверность нашего вывода. Увеличение количества посылок по правилам теории вероятности повышает вероятность того, что заключение истинно, но никогда по этим же правилам не делает его достоверным с вероятностью 1. Напомним тем, кто забыл, о чём идёт речь, что в теории вероятности оценка вероятности событий располагается между 0 и 1. 0 обозначает полную невозможность события, 1 обозначает полную достоверность того, что событие произойдёт, а числа между нулём и единицей обозначают вероятность наступления нашего события.

Существуют и иные приёмы усиления достоверности заключения нашего рассуждения, которые впервые сформулировал Френсис Бэкон, а затем привёл в современный вид Джон Милль, вследствие чего они получили название канонов Бэкона-Милля. В целом это не логические приёмы, но их результат можно представить в виде рассуждений, у которых имеется индуктивная составляющая. Приёмов или методов этих пять.

1. Метод сходств.

Представим себе перебор высказываний, в каждом из которых утверждается, что некое выделенное событие, которое мы обозначим буквой А, предшествует событию, которое мы обозначим буквой а (такое рассмотрение связи событий, а не признака и предмета в этом методе сложилось исторически, сути дела оно не меняет, но создаёт некоторые удобства при рассмотрении проблемы). Но при этом в высказываниях утверждается, что кроме события А событию а также предшествуют, но не постоянно события, обозначаемые буквами B, C, D, E, F, K, L, M, N и так далее. Например:

 

ABC предшествует а.

ADE предшествует а.

AKL предшествует а.

AMN предшествует а.

ABE предшествует а.

И так далее.

 

На основании перебора высказываний, в которых утверждается, что событие А постоянно является предшествующим событию а, мы можем сделать заключение, что, по-видимому, событие А всегда предшествует событию а. (В отличие от других событий, которые предшествовали событию а не постоянно. Допущение, что эти события всегда предшествуют событию а опровергается контрпримером, где эти события отсутствуют, приводящим к противоречию.)

В таком рассуждении, кроме перебора, который и делает это рассуждение индуктивным, также присутствует аналогия, которая усиливает убедительность связи посылок и заключения, насколько вообще аналогия может быть убедительной. И такое рассуждение считается несколько более убедительным, чем простой неполный перебор высказываний, констатирующих, что событие А предшествует событию а.

2. Метод различий.

Представим себе перебор высказываний, похожий на предыдущий, но с отличием в том, что при отсутствии в наборе предшествующих событий события А, в высказывании утверждается, что событие а отсутствует или, по крайней мере, не указывается о его наличии, хотя совокупное событие может предшествовать иным событиям. Например:

 

ABC предшествует а.

BCD предшествует k.

EFN предшествует m.

FNC предшествует t.

И так далее.

 

Говорить о переборе здесь можно только в отношении высказываний, в которых не утверждается о предшествовании события А событию а. Заключение о том, что событие А, по-видимому, всегда предшествует событию а мы делаем здесь, скорее, в результате дополнительного рассуждения. Если в случае, когда событие А участвует в совокупном событии, это совокупное событие предшествует событию а, а в случае, когда событие А отсутствует в совокупном событии, в последующем событии событие а также отсутствует, то мы можем сделать заключение, что именно событие А является тем событием, которое предшествует событию а. Это – дедуктивное рассуждение, и именно оно усиливает наш индуктивный перебор высказываний. Так как дедукция выглядит убедительней аналогии, то метод различий принято считать более достоверным, чем метод сходств.

3. Объединённый метод сходств и различий.

Этот метод применим в том случае, когда в нашем наборе высказываний имеется возможность воспользоваться каждым из только что обсуждавшихся методов. Такой усиленный и аналогией и дедукцией перебор воспринимается ещё убедительней, и поэтому считается ещё более достоверным.

4. Метод сопутствующих изменений.

В основе этого метода, несколько отличающегося от предыдущих приёмов рассуждения, также лежит не только индуктивный приём. Особенность этого метода заключается в аналогии между параметрами одного из предшествующих событий и параметрами интересующего нас события, для которого мы и устанавливаем наличие связи. Если при изменении параметров совокупных событий только изменение одного из этих событий, обозначим его А, ведёт к изменению интересующего нас события а, о чём мы можем высказаться соответствующим образом, то мы можем утверждать, что именно событие А предшествует событию а. Выглядеть это рассуждение будет так:

 

А₁ВС предшествует а₁.

А₂ВС предшествует а₂.

А₃ВС предшествует а₃.

А_nВС предшествует а_n.

А предшествует а.

Связь между событиями А и а может быть качественной, например, изменение цвета или места касания может вести к изменению тембра звука или иным качественным изменениям. Но связь может быть и количественной. Особенно убедительной такая связь в рамках установки, что в науке столько науки, сколько в ней математики, становится, если характер зависимости параметров обоих событий описывается математическими средствами. В этом есть определённая правота, так как в этом случае, кроме аналогии признаков и индуктивного перебора этих совпадений, мы усиливаем нашу аналогию возможностью более точного просчёта параметров, представляемую нам математическим аппаратом. Поэтому этот метод считается наиболее достоверным из тех, что мы рассматривали.

5. Метод остатков.

Этот метод применяется в том случае, когда из совокупного события мы по каким-либо причинам не можем выделить событие или параметр, который, собственно, и связан с последующим событием, но отсутствие или наличие других составляющих как-то влияет на последующий результат. При этом мы предполагаем, что предшествующие параметры или события и их воздействие на результат независимы друг от друга. Если в предыдущем методе изменению подвергалось событие, связанное с последующим событием, то здесь мы манипулируем чем угодно, кроме действительно предшествующего события, никогда полностью не выделяемого из совокупного события. Выглядеть подобное рассуждение будет так:

 

АВС предшествует аbc.

АВ предшествует аb.

АС предшествует ас.

А предшествует а.

 

В таком выводе присутствует также дедуктивная составляющая, так как мы при этом рассуждаем, что если при изменении всех параметров предшествующего совокупного события, кроме параметра А, изменялись все параметры последующего события кроме параметра а, то, по-видимому, именно предшествовавший параметр А и является связанным с последующим параметром а. Достоверность такого заключения, кроме увеличения количества посылок, подвергаемых индуктивному перебору, зависит также от того, является ли это простым перебором, или связь параметров АВС в предшествующем событии существенна, что лежит за пределами возможностей логического анализа.

В каноническом виде рассмотренные методы на самом деле претендуют не только на доказательство предшествования одних событий другим, но и на доказательство того, что предшествовавшее событие является причиной последующего, что отражено и в названии их как методов установления причинной связи. Но, во-первых, установление причинной связи – это проблема не логическая, а эвристическая, результат творческого озарения, которому рассуждения могут только способствовать. Во-вторых, то, что предшествует, не обязательно является причиной того, что происходит после этого. С точки зрения физики причиной свечения спирали в лампе накаливания понимаются определённые физические процессы, а не поворот или нажатие выключателя, благодаря которому собирается электрическая цепь, или, тем более, предшествовавшее словесное указание включить свет. Поэтому, в-третьих, даже установление математической закономерности, демонстрирующей связь угла поворота выключателя и яркости свечения лампочки, не говорит, что тригонометрические функции угла являются причинами физических параметров свечения, хотя они предшествуют им, и мы способны построить рассуждение, демонстрирующее связь между ними.

 

Математическая индукция.

 

Математическую индукцию приходится рассматривать в пособии по логике, в первую очередь, из-за присутствия в её наименовании термина индукция, хотя это в целом математический метод, пусть и не лишённый, как и многие современные математические методы, моментов открытого дискурсивного рассуждения, в данном случае имеющего отношение к индукции. Область применения этого метода также сугубо математическая. А именно, линейно упорядоченные множества, примером которых может служить числовой ряд или любое другое множество, элементы которого могут быть поставлены в однозначное соответствие с элементами числового ряда (или иными словами пронумерованы). Если индуктивное рассуждение предполагает возможность перебора служащих посылками высказываний, в которых в каждом подтверждается связь признака с предметом (или связь событий), то в математической индукции предполагается возможность последовательного перебора математических элементов линейно упорядоченного множества, во-первых, и, во-вторых, возможность доказательства о присущности интересующих нас свойств этим элементам. Доказательство это может и не использовать собственно логических средств. Так для доказательства чётности числа вполне достаточно, если мы способны разделить его на два.

Для доказательства методом математической индукции мы, во-первых, доказываем, что первый элемент нашего множества обладает признаком Р. Этот этап доказательства называется доказательством базиса индукции.

На втором этапе, который называется доказательством шага индукции, мы доказываем, что если элемент под номером n обладает признаком Р, то элемент под номером n+1 также обладает признаком Р. Или в символической форме: Р_nÉР_n+1.

На третьем этапе мы, используя индукционное предположение, что все элементы множества, порядковый номер которых меньше n (l<n), обладают признаком Р, делаем заключение, что все элементы нашего множества обладают признаком Р. Демонстрация такого вывода в целом дедуктивная.

 

1. Р(0) - посылка на основании доказательства базиса индукции

2. Р(0)ÉР(1) - на основании доказательства шага индукции

    Р(1) - заключение на основании modus ponens

    Р(1)ÉР(2) - следующий шаг индукции

    Р(2)

И так далее.

Мы видим, что в демонстрации мы имеем дело с перебором не высказываний, а шагов доказательства в отношении нумерованных элементов множества. А в самом доказательстве перебор мысленно осуществляется в отношении самих элементов. Поэтому об индуктивности рассуждения здесь утверждается расширенно, что в строгом смысле в логике не принято.

 

Статистические рассуждения.

 

Статистические рассуждения роднит с индукцией, также как и аналогией, то, что достоверность заключения в них не претендует на абсолютность. Если нам известно, что вероятность наличия признака у какого-либо объекта или вероятность связи событий равна n (1>n>0), то в случае утверждения о наличии объекта или события мы не можем утверждать об истинности или ложности заключения, что объекту присущ искомый признак или что совершилось связанное с исходным событием. Вероятность такой связи можно установить статистическими методами, от которых и произошло наименование этого типа рассуждений. Мы можем говорить лишь о вероятности того, что признак присущ или что события связаны. Такие высказывания чаще используются в дедуктивных рассуждениях, например, если есть вероятность равная n, что после события А последует событие а, то, если событие А совершилось, с вероятностью n последует событие а. Использовать их в индуктивных построениях можно, но реальные ситуации придумать очень трудно.

 

Гипотеза.

 

Если говорить о гипотезе с точки зрения проблем логического контроля рассуждения, то в первую очередь следует отметить, что гипотеза – это всегда высказывание, а не термин или преобразование. Рассмотрение гипотезы в рамках проблем преобразования высказываний и вывода связано с тем, что гипотеза, во-вторых, всегда собственно выполнимое высказывание, то есть гипотезой не может быть закон логики, так как такое высказывание всегда истинно, и не может быть противоречие, так как такое высказывание всегда ложно, а истинностная характеристика гипотезы неопределённа. Поэтому, в-третьих, в отношении гипотезы всегда стоит задача определить истинно или ложно это высказывание. Эта задача обычно выполняется не столько логическими средствами, но рассуждения участвуют в процессе подтверждения или опровержения гипотезы. Так как истинность гипотезы лишь вероятна, как и любое предположение, то мы именно подтверждаем (обосновываем), что гипотеза имеет право на существование и доверие, а не доказываем её истинность, как в случае, если бы мы имели дело с логическими или математическими предположениями. Но опровергнуть гипотезу в простейшем случае можно, если, осмысляя эмпирические источники или теоретическим путём, мы получаем высказывание, противоречащее нашей гипотезе или выведенным из неё в результате преобразований следствиям.

Гипотеза от простого предположения отличается тем, что гипотеза всегда выдвигается из теории либо как следствие из её положений, либо как с первого взгляда не противоречащее положениям теории высказывание. Поэтому для подтверждения и опровержения гипотезы не безразличны логические отношения, возникающие у гипотезы с иными высказываниями-положениями теории. Как справедливо отметил Карл Поппер любая теория, по сути, гипотетична. Или иными словами все положения теории, в конце концов, с логической точки зрения это только гипотезы. Поэтому в случае, если гипотеза или её следствия противоречат иным высказываниям теории или их следствиям, это может привести не к её опровержению, а к устранению иных положений теории, что может происходить под логическим контролем, но является не логической процедурой. Также не логическим является процесс принятия (согласия) или отказа от теории, хотя логический анализ может активно при этом использоваться. Мы не будем здесь приводить приёмы обоснования и опровержения гипотез, так как они ни в чём не отличаются от общелогических приёмов обоснования и опровержения, о чём речь будет идти в следующем разделе.

Но даже откровенно противоречивая теория, как показывает практика, не только веками, но и тысячелетиями может служить в качестве общепринятой, если её не вытеснит более адекватно выполняющая приспособительные функции концепция, благодаря чему исповедующие её в массовом масштабе получают больший шанс выжить. Но это также не логическая проблема.

 

Тема 7. Логический контроль в процессе обсуждения.

 

Большей частью наша речевая деятельность лежит за пределами досягаемости средств логического контроля или принципиально, как, например, художественная речевая активность, в которую логические приёмы могут быть включены только как дополнительный нюанс, используемый для решения художественной задачи. Или логический контроль невозможно применить в связи с особенностями ситуации, не позволяющей в данный момент отвлечься для логического анализа высказываемого или применения доводов логического содержания.

Ситуация, при которой применение логических средств возможно и даже желательно, это ситуация дискуссии. Это ситуация, которая требует выполнения определённых правил, обеспечивающих возможность обсуждения проблем и выяснения их состоятельности. Эти правила могут быть не заданы явно, а просто ситуация в связи с составом и уровнем подготовки участников располагает к рассуждающему обсуждению. Но они могут быть и явно сформулированы для того, чтобы позволить участникам высказываться и приводить логические доводы. Существуют и подробные правила, регламентирующие поведение участников диспута. В юридической практике создаются специальные документы, например судебно-процессуальный кодекс, предназначенные для обеспечения непредвзятого выяснения специфики проблемы. В ином случае, когда логические доводы применить невозможно, ситуацию следует воспринимать и рассматривать как внелогическую.

Анализ практики обсуждения проблем показывает, что, как правило, в ходе обсуждения не выводят заключение из посылок, а то, что является заключением вывода, выдвигается в ходе разговора в качестве высказывания, которое предполагается истинным. Такое высказывание, которое не поддерживается всеми участниками дискуссии и требует обоснования или опровержения с точки зрения логического контроля, называется тезисом.

Для обоснования или критики высказывания, которое является тезисом, необходимо построить рассуждение, в котором тезис, который мы обосновываем или критикуем, или его отрицание, или следствие, стали бы заключением дедуктивного или не дедуктивного построения. Или, иными словами, мы должны показать связь тезиса с иными признаваемыми положениями.

Иногда убедительность тезиса и его признание оппонентами могут быть достигнуты и внелогическими средствами, например упоминанием каких-нибудь подробностей, фактов, наглядной демонстрацией, ссылкой на полученное ранее согласие, опыт, авторитетный источник и так далее. Но в значительном количестве случаев это может не удовлетворить оппонентов, и они, настаивая на своих представлениях, могут требовать более строгих обоснований и критики. В таком случае избежать логических доводов и построений невозможно.

Содержательное рассуждение или формальное построение, в котором обоснование или критика тезиса является его результатом, в данном подходе называется логической демонстрацией. Для демонстрации логической связи (далее мы будем для удобства называть её просто демонстрацией), могут быть использованы дедуктивные, индуктивные рассуждения или она может проводиться в рамках рассуждения по аналогии. Демонстрация показывает нам способ логической связи (дедуктивный, индуктивный или по аналогии) посылок и заключения-тезиса и опирается на предположение о существовании такой связи. Высказывания, служащие посылками демонстрации, в результате чего мы обосновываем или опровергаем тезис (в случае дедуктивной демонстрации это посылки вывода), в данном подходе называются аргументами. Тезис, аргументы и демонстрация называются элементами структуры логического обоснования и критики.

В случае если дедуктивная демонстрация позволяет нам получить вывод из пустого множества посылок, то, как мы уже оговаривали это раньше, мы называем такую демонстрацию доказательством. В расширенном смысле часто доказательством называют любое строгое обоснование. К сожалению, такая возможность возникает лишь при решении внутрилогических проблем или при математических операциях. Но иногда термин доказательство применяют к ещё большему объёму ситуаций, например в юридической практике, где правильней было бы говорить об обосновании, так как в эмпирической области очень трудно, если вообще возможно, получить логическими средствами абсолютно достоверный результат. Наше признание абсолютности эмпирических положений связано с иными, внелогическими причинами.

 

Обоснование.

 

Различают два вида обоснования: прямое и косвенное. Прямым обоснованием можно считать такое обоснование, в котором тезис оказывается заключением какой-либо разновидности рассуждения: дедуктивного, индуктивного или по аналогии, с соответствующей этим методам достоверностью. Эту проблему мы уже достаточно обсудили в предыдущих разделах.

Косвенным обоснованием называется такое обоснование тезиса, в котором он получается как результат дополнительного рассуждения при использовании противоречащего тезису допущения, которое называется антитезис. Косвенное доказательство подразделяется на апагогическое и разделительное.

Апагогическим называют обоснование путём установления ложности противоречащего тезису допущения, или иными словами путём установления ложности антитезиса. Это достаточно понятный в классической логике способ доказательства, так как при признании справедливости закона исключённого третьего и связанного с ним закона удаления двойного отрицания при обосновании ложности антитезиса k Т (тезис обозначаем символом Т) получаем, что если антитезис ложен, то его отрицание k k Т истинно. Снимаем двойное отрицание и получаем, что тезис Т истинный.

Но в интуиционистской логике у нас такой возможности нет, и при признании норм интуиционизма у нас есть лишь возможность только прямого конструктивного доказательства, что в обыденной практике, по крайней мере, при том уровне развития общества, которое имеется на лицо, создаст трудности в доказательстве чего-либо. Но в отношении логического контроля рассуждения можно найти и иные доводы против интуиционистского ригоризма.

Доказательство ложности антитезиса можно достичь или обнаружив противоречие его с эмпирическим высказыванием, или в результате противоречия его с каким-либо выведенным из него следствием, а также в результате противоречия выведенных из антитезиса следствий друг другу или эмпирическому высказыванию. Следует учесть, что ко всем высказываниям, используемым в процессе, как обоснования, так и критики, являющимся аргументами, также могут быть предъявлены требования логического контроля. В таком случае каждое из них, в случае предъявления требования продемонстрировать его истинность, становится тезисом промежуточного обоснования или критики.

Разделительное косвенное обоснование можно применить в случае, если тезис выступает членом дизъюнкции наряду с другими альтернативными допущениями. Наше совокупное допущение имеет вид ТÚАÚВÚС. Если нам удастся показать, что истинны высказывания ùА, ùВ, ùС, то можно записать такой вывод:

 

ТÚАÚВÚС, ùА, ùВ, ùС,

                                                                                 Т

 

Критика.

 

Критика в процессе логического контроля производится в отношении всех обсуждаемых составляющих рассуждения, или, иначе, критике может подвергаться тезис, аргументы и демонстрация.

Критика тезиса является наиболее сильным приёмом из возможного набора используемых средств. Такая критика может быть прямой или косвенной. Прямая критика тезиса заключается либо в поиске прямо противоречащих тезису достоверных высказываний, полученных логически или эмпирически. Либо приёмом, называемым сведением к противоречию (reductia ad absurdum). В отличие от непосредственной критики тезиса, в приёме сведения к противоречию мы предварительно выводим из тезиса следствия, а затем демонстрируем противоречие следствия иному следствию или эмпирически истинному высказыванию.

Косвенная критика тезиса строится как обоснование антитезиса, в случае чего тезис оказывается ложным при признании нами требований классической логики. Обратите внимание, что косвенное обоснование строится как опровержение антитезиса, а косвенная критика, как доказательство антитезиса. Это не так трудно понять, как выговорить.

Приёмы критики аргументов ничем не отличаются от приёмов критики тезиса. Мы уже обращали внимание на то, что в этом случае исследуемый аргумент становится промежуточным обсуждаемым тезисом. Но в случае, даже если мы добиваемся признания ложности аргументов, тезис можно спасти, обосновав его другими аргументами. Для усиления критики необходимо ещё показать, что иных аргументов нет.

Критика демонстрации состоит в том, чтобы показать отсутствие связи между аргументами и тезисом. Но для этого необходимо не только в совершенстве владеть всем арсеналом средств дедукции и не дедуктивных рассуждений хотя бы на изложенном уровне, что в целом вполне достаточно, но и чтобы оппоненты также понимали, о чём идёт речь, что во многих случаях является невыполнимым желанием.

 

Логические ошибки.

 

Существует множество различных способов изложения этой проблемы, начиная от различных перечислений ошибок, до классификаций по разнообразным, в том числе и не логическим основаниям. Например, ошибки делят на преднамеренные (софизмы), создаваемые с целью добиться принятия нужного решения, подорвать доверие к логическим доводам с той же целью или для чего-нибудь ещё, и непреднамеренные (паралогизмы), от которых не застрахован никто. Можно также создать классификацию ошибок, в которой будут перечислены возможные ошибки в рамках каждой рассмотренной в пособии тем.

Простую, удобную и лишённую повторов и несогласованностей классификацию логических ошибок, по-видимому, создать невозможно вообще, так велико количество разнородных причин появления их, разнообразие рассматриваемых проблем и ракурсов их рассмотрения, и условий протекания обсуждения. Если исходить из практических нужд, то если отбросить некоторые специфические требования, предъявляемые к операциям с объёмами терминов и определениям терминов, то на самом деле всё разнообразие ошибок можно свести к трём: противоречию, кругу и подмене.

Наиболее просто обнаруживается противоречие. Даже если противоречащие высказывания отделены друг от друга текстом или временем в процессе обсуждения, появление противоречащего высказывания или способного при его преобразовании привести к противоречию настораживает. И только сильное психологическое давление может заставить не реагировать на этот дискомфорт.

Круг уже менее заметен, если его составляющие находятся за пределами непосредственной близости, не важно круг ли это в определении или в доказательстве. Поэтому так необходимо быть внимательным к понятности терминов, входящих в определяющую часть дефиниции, и не ждать обещаний их прояснения в дальнейшем. Уточнению может подвергаться лишь изначально понятный или определённый термин. Если в дальнейшем этот термин будет уточняться иным образом, чем определялся в начале, то к такому уточнению можно будет предъявить претензии либо в противоречии с предыдущим изложением, либо в подмене.

Наиболее трудно улавливаемой ошибкой является подмена понятия. Конечно, подмену термина или полную подмену обсуждаемого в спокойном эмоциональном состоянии заметить не сложно, если только вообще обращать на это внимание. Но обычно подмену осуществляют в ситуации психологического давления, например, в политических выступлениях, в юридическом или в педагогическом процессе и в иных эмоциональных или необязательных ситуациях. Часто подмены встречаются в текстах, утомляющих своим размером и трудностью. Самый безобидный вид подмены – это подмена в художественном тексте, часто с комическим эффектом, так как такие тексты не претендуют на передачу достоверной информации, и логические претензии к ним в целом не применимы. С другой стороны, как правило, подмене подвергается не термин, а особенности его понимания, смысл, подмена обсуждаемого осуществляется исподволь или с заменой на более важную с эмоциональной стороны проблему, а это заметить уже не так просто, учитывая непростые психологические условия, в которых приходится осуществлять логический контроль и самоконтроль.

Можно также сконструировать классификацию ошибок в отношении элементов структуры обоснования и критики, то есть рассмотреть отдельно ошибки, которые возможны по отношению к тезису, аргументам и демонстрации. При всей громоздкости и неудобстве такой классификации она позволяет свести вместе наиболее распространённые ошибки и ознакомить с ними. Здесь мы воспользуемся с некоторыми уточнениями классификацией, приведённой в пособии "Упражнения по логике" под редакцией В. И. Кириллова, где все ошибки рассматриваются как нарушения некоторых обязательных к применению при рассуждении правил. Не прояснённые в таблице ошибки мы обсудим после знакомства с нею.

 

Правила	Ошибки
В отношении тезиса
1. Тезис должен быть понятным (требование определённости тезиса).	1. Выдвижение не ясного, не точного, неопределённого тезиса.
2. Тезис должен оставаться неизменным в процессе рассуждения (требование неизменности тезиса).	2.1. Потеря тезиса (паралогизм). ("Доктор, у меня склероз. - Как давно? - Что давно?")
	2.2. Полная подмена тезиса (софизм):
	а) доказательство другого тезиса вместо выдвинутого;
	б) довод к личности (argumentum ad hominem);
	в) довод к публике (argumentum ad publicum), иногда это называют логической диверсией.
	2.3. Частичная подмена тезиса (различные варианты от подмен на уровне терминов до подмен высказываний, в случае если тезис –  сложное высказывание).
В отношении аргументов.
1. Аргументы должны быть обоснованно истинными.	1. Основное заблуждение (error fundamentalis), принятие за истину ложного аргумента.
2. Аргументы не должны противоречить друг другу.	2. Аргументы противоречат друг другу.
3. Аргументы должны обосновываться независимо от тезиса.	3.1. Тождество аргумента и тезиса.
	3.2. Круг в доказательстве (аргумент является следствием тезиса).
	3.3. Предвосхищение основания (petitio principii), при обосновании в аргументах предполагается, что они доказывают тезис на безальтернативной основе (вариант круга на уровне осмысления). Пример: всё, что происходит в мире, указывает на наличие в мире бога.
4. Аргументы должны быть достаточными для обоснования тезиса.	4.1. Слишком поспешное доказательство (не рассмотрены возможные альтернативы).
	4.2. Чрезмерное доказательство (не столько ошибка, сколько несчастье многих, привыкших к логической невменяемости окружающих и пытающихся приводить доводы там, где они уже не нужны).
В отношении демонстрации.
1. Обоснование и критика должны строиться по правилам соответствующего типа рассуждений.	1.1. Нарушение правил рассуждения соответствующего вида.
	1.2. Неадекватное отношение к степени достоверности заключения:
	а) неоправданный переход от более узкой области к более широкой;
	б) переход от сказанного с условием к сказанному безусловно;
	в) переход от сказанного в определённом отношении к сказанному безотносительно.
	1.3. Отсутствие признания логической связи заключения и посылок там, где они есть, и признание там, где их нет под давлением доводов к силе, невежеству, выгоде, здравому смыслу, авторитету и так далее.

 

Мы не прояснили только две распространённые ошибки: довод к личности и довод к публике. Каждая из них существует в различных вариантах. При доводе к личности мы вместо тезиса обсуждаем его высказавшего и, в частном случае, оппонента. Ситуация эта всегда трудна для того, о ком идёт речь, и становится внелогической, так как оказавшись на месте обсуждаемого мы вместо обсуждения вынуждены защищаться от психологического нападения. В значительной части случаев на нападающих не действует ссылка на то, что они совершают логическую ошибку, ибо они её чаще всего делают преднамеренно и даже без знания логики.

Не проще ситуация и при доводе к публике, так как внимание присутствующих переключается на собственные проблемы присутствующих и ситуация также становится эмоциональной и внелогической. Для продолжения дискуссии в такой ситуации необходимо вернуться к обсуждению тезиса, но сделать это далеко не всегда возможно, и в любом случае психологическая нагрузка в таком случае огромна.

 

Приложение. Теорема дедукции.

 

Теорема дедукции вынесена в приложение, так как основной массе пользователей она не нужна, да и большинство из них, не привыкших к строгим обоснованиям и не любящих сложные математические конструкции, вряд ли станет тратить на неё время и силы. Но, возможно, любознательные, а не только те, кому знакомство с этой теоремой предписано по программе, всё же обратят на неё внимание. Тем более что разобраться в доказательстве не так трудно, как его придумать.

Трудности, которые ждут тех, кто решится на знакомство с доказательством этой теоремы, связаны, во-первых, с тем, что хотя теорема, судя по названию, имеет отношение к логике, но, в целом, это математическая конструкция, пусть и рассматривающая, как предмет исследования, свойства логического объекта. А именно, свойства процедуры логического вывода, возможность переходить в формулах определённого вида от их доказательства к выводу из посылок.

Вторая трудность, которая ждёт решившихся, это общая трудность доказательств с помощью математической индукции, необходимость одновременно помнить не только о предмете доказательства, но и об отправных пунктах и процедурах самой математической индукции, которые только кажутся простыми, пока ими не начинаешь пользоваться.

Третья трудность, это параметр, по которому мы будем вести доказательство теоремы. Неудобство этого параметра – это непривычность и отвлечённость его от непосредственных проблем, с которыми сталкиваются в прикладной логике. Параметр этот – длина вывода, количество строк, которые могут присутствовать в конкретных выводах при преобразовании доказательства в вывод из посылок.

Ещё одно неудобство связано с тем, что доказательство мы будем вести в отношении вывода в аксиоматически заданной системе, с которой мы практически не работали, а лишь познакомились. Но самой большой трудностью будет то, что заключение может быть получено в процессе его вывода несколькими способами, и придется исследовать все эти способы.

Формулируется теорема дедукции так: если из совокупности посылок, обозначенных как Г, и посылки А выводится заключение В, то из совокупности посылок Г выводится заключение АÉВ. Или в символическом виде: если из Г,АÞВ, то из ГÞАÉВ. Где Г - список формул.

При выводе формулы В из списка формул Г и формулы А формула В может:

1.       Совпадать с А.

2.       Быть одной из формул, входящих в Г.

3.       Быть аксиомой.

4.       Получаться из посылок по modus ponens.

Других вариантов нет. В аксиоматике, кроме права подстановки и правила modus ponens нет других операций.

При выводе формулы АÉВ из списка формул Г формула АÉВ:

1.       Не может совпадать с А, это видно по внешнему виду формул.

2.       Может быть одной из формул, входящих в Г.

3.       Быть аксиомой.

4.       Получаться из посылок по modus ponens.

Теперь докажем базис математической индукции в отношении вывода формулы В из формул Г (список) и А. Напомним, что базис - это доказательство в отношении первого элемента. Для  нашей теоремы - это вывод относительно самой короткой (но не пустой) длины вывода, то есть вывода в один шаг. В случае если формула В совпадает с формулой А, является одной из формул списка Г или аксиомой, то, будучи выписанной на первой же строке, она этим завершит процесс доказательства. Вариант, когда формула В получена по modus ponens, мы исключаем из рассмотрения в доказательстве базиса, так как для такого вывода требуется три строки.

При выводе формулы АÉВ из списка формул Г в первом случае, когда В совпадает с А, заключение АÉА  может быть получено, как теорема, доказуемая из аксиом.

Во втором случае, когда формула В является одной из формул списка Г (например Г_n), заключение АÉГ_n может быть получено в результате следующего рассуждения:

1.       Г_n - посылка

2.       Г_nÉ(АÉГ_n) - аксиома

3.       АÉГ_n - modus ponens в отношении строк 1. и  2.

В третьем случае, когда В является аксиомой, формулу АÉВ мы можем получить сходным рассуждением:

1.       В - аксиома

2.       ВÉ(АÉВ) - аксиома

3.       АÉВ - modus ponens в отношении строк 1. и  2.

Таким образом мы показали, что если в выводе длиной в одну строку из списка формул Г и формулы А выводится формула В, то из списка формул Г выводится (длина вывода нас здесь уже не интересует) формула АÉВ.

Теперь докажем индукционный шаг, то есть докажем для произвольной длины вывода, что если при доказательстве в n строк (l<n)из списка формул Г и формулы А выводится формула В, то из списка формул Г выводится формула АÉВ.

В случае если формула В совпадает с А, а также является одной из формул списка Г или аксиомой, то не важно на какой строке доказательства она оказалась выписанной, и в отношении возможности в таком случае получить формулу АÉВ из списка формул Г, полностью пригодны доводы, изложенные при доказательстве базиса индукции. В этом можно убедиться, вернувшись к доказательству базиса.

Случай же, когда заключение вывода получено по modus ponens, требует дополнительного рассмотрения.

Допустим, что В получено по modus ponens. Тогда мы должны предположить, что в строках вывода (без нумерации строк) стояло:

Р

РÉВ

В - по modus ponens из предшествующих строк.

При этом длина вывода для формул Р и РÉВ меньше, чем для формулы В. Напомним, что мы принимаем индуктивное предположение, которое в нашем случае будет иметь следующий вид: если формула на произвольной строке n способна быть получена известными нам средствами, то и формула на n+1 строке также может быть получена этими средствами. Как получается вывод формулы В из списка формул Г и формулы А по modus ponens мы только что показали. Но в таком случае не зависимо является формула А истинной или ложной должны быть истинными формулы АÉР и АÉ(РÉВ), раз формулы Р и РÉВ, как оказавшиеся на строках доказательства оказались истинными. Правда формулы Р и РÉВ были получены при наличии формулы А в качестве посылки, и на эту связь приходится закрывать глаза. А это демонстрирует наличие в строгом доказательстве наличие не строгого с формальной точки зрения довода апелляции к опыту работы в конкретной операциональной системе (в ином случае мы должны были бы предполагать здесь круг в доказательстве). В данном случае мы опираемся на опыт исчислений в пропозициональной логике, на понимание того, как выглядят реальные процедуры. В любом случае, чтобы показать, что такой связи нет, анализ должен быть содержательным, а не строго формальным. Если мы всё-таки примем наши доводы, то можно построить следующий вывод:

АÉР         } индуктивное

АÉ(РÉВ) } предположение

(АÉР) É((АÉ(РÉВ)) É(АÉВ)) - аксиома

(АÉ(РÉВ)) É(АÉВ) - modus ponens (строки 1 и 3 нашего вспомогательного вывода)

АÉB - modus ponens (строки 2 и 4 нашего вспомогательного вывода).

Таким образом, во всех случаях, если из списка формул Г и формулы А выводится формула В, то из списка формул Г выводится формула АÉB. А это позволяет нам, приняв отмеченные оговорки, получить право перейти от доказательства формулы с импликацией в качестве главного знака к выводу консеквента из антецедента.

 

оглавление

 

Предисловие................................................................................................................................................... 1

Тема 1. Предмет логики........................................................................................................................... 3

Тема 2. История возникновения и развития логических идей............................... 5

Тема 3. Термин как внелогическая и логическая проблема................................... 8

Логические классификации терминов.................................................................................... 9

1. Дескриптивные и логические термины............................................................................................ 9

2. Классификация дескриптивных терминов по осмыслению их отношения к предметной реальности.     11

Единичные и общие термины................................................................................................................... 11

Собирательные и не собирательные термины........................................................................................ 11

Конкретные и абстрактные термины....................................................................................................... 12

3. Классификация дескриптивных терминов в связи с особенностями их осмысления....... 12

a) Термины с положительным и отрицательным содержанием............................................................. 12

b) Термины с относительным и безотносительным содержанием......................................................... 12

Представление об объёме и содержании терминов...................................................... 13

Графическое изображение объёмов терминов............................................................................... 14

Диаграмма Венна....................................................................................................................................... 14

Круги Эйлера............................................................................................................................................ 17

Обобщение и ограничение терминов.................................................................................................. 19

Изменение объёмов терминов, образованных в результате речевых процедур................................. 19

Деление объёма термина........................................................................................................................... 21

Классификация.......................................................................................................................................... 22

Содержание термина как логическая проблема............................................................................ 22

Определение.............................................................................................................................................. 22

Ошибки в определениях терминов.......................................................................................................... 24

Тема 4. Высказывание.......................................................................................................................... 24

Исследование высказываний в традиционной логике............................................ 25

Виды простых атрибутивных суждений......................................................................................... 26

Распределённость дескриптивных терминов в атрибутивном высказывании..................................... 27

Алгоритм проверки распределённости терминов атрибутивных высказываний............................... 32

Исследование высказываний в нетрадиционной логике....................................... 33

Сложные высказывания......................................................................................................................... 34

Определение значений логических констант с помощью таблиц.......................................................... 35

Исчисление сложных высказываний с помощью табличных значений................................................. 37

Исчисление сложных высказываний методом допущения..................................................................... 38

Количественные и качественные характеристики высказывания............................................ 40

Тема 5. Преобразование высказываний................................................................................. 41

Логика высказываний...................................................................................................................... 43

Аксиоматическое построение классических преобразований высказываний........................ 43

Натуральное построение классической логики высказываний.................................................. 44

Важнейшие правила присоединения новых строк преобразования..................................................... 44

Правила доказательства. Прямое доказательство................................................................................. 46

Сведение доказательства к выводу из посылок..................................................................................... 46

Косвенное доказательсьво....................................................................................................................... 47

Добавочное допущение, связываемое с помощью импликации............................................................ 48

Взаимосвязь правил и тождественно истинных формул....................................................................... 48

Наиболее часто используемые на практике правила преобразования и тождественно истинные формулы.  49

Неклассическое и классическое расширение логики высказываний.......................................... 50

Логика предикатов.............................................................................................................................. 51

Преобразования в традиционной логике предикатов. Общая характеристика.................. 52

Непосредственные преобразования.................................................................................................... 52

Собственно непосредственные преобразования.................................................................................... 52

Преобразования по логическому квадрату........................................................................................... 57

Простой категорический силлогизм........................................................................................................ 67

Тема 6. Не дедуктивные рассуждения...................................................................................... 79

Аналогия..................................................................................................................................................... 79

Индукция..................................................................................................................................................... 80

Математическая индукция.......................................................................................................... 83

Статистические рассуждения..................................................................................................... 83

Гипотеза....................................................................................................................................................... 83

Тема 7. Логический контроль в процессе обсуждения............................................. 84

Обоснование.............................................................................................................................................. 85

Критика......................................................................................................................................................... 85

Логические ошибки............................................................................................................................... 85

Приложение. Теорема дедукции.................................................................................................... 87